√i+√-i= কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\sqrt{i} + \sqrt{-i} = ?\)

ধাপ ১: ঘাতক রূপে রূপান্তর করুন

প্রথমে, আমরা জানি যে \(i = e^{i\pi/2}\) এবং \(-i = e^{-i\pi/2}\)।

ধাপ ২: মূলের জন্য রূপান্তর

প্রতিটি মূলের জন্য, যদি \(\sqrt{z}\) হয়, তবে তা হয়: \[ \sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r}e^{i\theta/2} \] এবং \(\theta\) হলো মূলের আক্ষরিক কোণ।

ধাপ ৩: \(\sqrt{i}\) নির্ণয়

এখানে, \(i = e^{i\pi/2}\), তাই: \[ \sqrt{i} = \sqrt{1} \times e^{i(\pi/2)/2} = e^{i\pi/4} = \cos\frac{\pi}{4} + i \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \]

ধাপ ৪: \(\sqrt{-i}\) নির্ণয়

-i = \(e^{-i\pi/2}\), সুতরাং: \[ \sqrt{-i} = e^{i(-\pi/2)/2} = e^{-i\pi/4} = \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \]

ধাপ ৫: যোগফল নির্ণয়

এখন, যোগ করি: \[ \sqrt{i} + \sqrt{-i} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2} \]

উত্তর:

সুতরাং,

\(\sqrt{i} + \sqrt{-i} = \boxed{\sqrt{2}}\)