x cos θ + y sin θ = 2 এবং x sin θ – y cos θ = 2 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাংক নিম্নের কোন সমীকরণকে সিদ্ধ করে-
প্রশ্ন:
x cos θ + y sin θ = 2 এবং x sin θ – y cos θ = 2 রেখা দুইটির ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নিচের কোন সমীকরণকে সিদ্ধ করে?
উত্তর: x2 + y2 = 8
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো:
\( x \cos \theta + y \sin \theta = 2 \) .....(1)
\( x \sin \theta - y \cos \theta = 2 \) .....(2)
এখন, উভয় সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করি:
\( (x \cos \theta + y \sin \theta)^2 + (x \sin \theta - y \cos \theta)^2 = 2^2 + 2^2 \)
\( \Rightarrow x^2 \cos^2 \theta + 2xy \cos \theta \sin \theta + y^2 \sin^2 \theta + x^2 \sin^2 \theta - 2xy \sin \theta \cos \theta + y^2 \cos^2 \theta = 4 + 4 \)
\( \Rightarrow x^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + y^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 8 \)
যেহেতু, \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \), সুতরাং,
\( \Rightarrow x^2 + y^2 = 8 \)
অতএব, ছেদবিন্দুটির স্থানাঙ্ক \( x^2 + y^2 = 8 \) সমীকরণকে সিদ্ধ করে। 🎉
```