4x + 3y = c এবং 12x - 5y = c + 8 রেখা রেখা দুইটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তি হলে, c এর মান কত?

🤔 প্রশ্ন: 4x + 3y = c এবং 12x - 5y = c + 8 রেখা রেখা দুইটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তি হলে, c এর মান কত? 🧐

📝 সমাধান:

আমরা জানি, \(ax + by + c = 0\) রেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব \( \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)।

প্রদত্ত রেখা দুইটি হলো:

1) 4x + 3y - c = 0

2) 12x - 5y - (c + 8) = 0

যেহেতু রেখা দুইটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী, তাই:

\( \frac{|-c|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-(c+8)|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} \)

➡️ \( \frac{|c|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|c+8|}{\sqrt{144 + 25}} \)

➡️ \( \frac{|c|}{\sqrt{25}} = \frac{|c+8|}{\sqrt{169}} \)

➡️ \( \frac{|c|}{5} = \frac{|c+8|}{13} \)

➡️ \( 13|c| = 5|c+8| \)

এখন, দুইটি সম্ভাবনা:

i) 13c = 5(c + 8)

➡️ 13c = 5c + 40

➡️ 8c = 40

➡️ c = 5

ii) 13c = -5(c + 8)

➡️ 13c = -5c - 40

➡️ 18c = -40

➡️ c = -\(\frac{20}{9}\)

যদি c = -\(\frac{20}{9}\) হয়, তবে রেখা দুটি হলো:

1) 4x + 3y + \(\frac{20}{9}\) = 0

2) 12x - 5y + \(\frac{20}{9}\) - 8 = 0 ➡️ 12x - 5y - \(\frac{52}{9}\) = 0

এখন, c = 5 হলে রেখা দুটি হলো:

1) 4x + 3y - 5 = 0

2) 12x - 5y - 13 = 0

অতএব, c এর মান 5 হতে পারে।

✨ উত্তর: 5 ✨