একটি সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2,1) এবং (2,5) হলে তৃতীয় শীর্ষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত ?

ধরি, সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষবিন্দু A(2,1) এবং B(2,5)। তৃতীয় শীর্ষবিন্দু C(x,y)।

যেহেতু ABC একটি সমবাহু ত্রিভুজ, তাই \(AB = BC = CA\)

প্রথমে, \(AB\) এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

\(AB = \sqrt{(2-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{0 + 16} = 4\)

সুতরাং, \(BC = 4\) এবং \(CA = 4\) হবে।

\(BC = \sqrt{(x-2)^2 + (y-5)^2} = 4\)

\((x-2)^2 + (y-5)^2 = 16\) --- (1)

\(CA = \sqrt{(x-2)^2 + (y-1)^2} = 4\)

\((x-2)^2 + (y-1)^2 = 16\) --- (2)

সমীকরণ (1) থেকে (2) বিয়োগ করে পাই,

\((y-5)^2 - (y-1)^2 = 0\)

\(y^2 - 10y + 25 - (y^2 - 2y + 1) = 0\)

\(-8y + 24 = 0\)

\(y = 3\)

\(y\) এর মান সমীকরণ (2) এ বসিয়ে পাই,

\((x-2)^2 + (3-1)^2 = 16\)

\((x-2)^2 + 4 = 16\)

\((x-2)^2 = 12\)

\(x-2 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}\)

\(x = 2 \pm 2\sqrt{3}\)

সুতরাং, তৃতীয় শীর্ষবিন্দু C এর স্থানাঙ্ক \((2 + 2\sqrt{3}, 3)\) অথবা \((2 - 2\sqrt{3}, 3)\) হতে পারে।

অতএব, তৃতীয় শীর্ষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((2+2\sqrt{3},3)\) । 🎉