px² + 4y² = 1, উপবৃত্তটি  (pm1, 0)  বিন্দুগামী হলে, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( px^2 + 4y^2 = 1 \), উপবৃত্তটি \(\pm 1, 0 \) বিন্দুগামী হলে, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য কত? উত্তর: "2 একক" সমাধান: ধরা যাক, উপবৃত্তের সমীকরণ হলো: \[ px^2 + 4y^2 = 1 \] এখানে, উপবৃত্তের অক্ষের দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে হলে প্রথমে সাধারণ রূপে উপবৃত্তের সমীকরণ লিখতে হবে। প্রথমত, সমীকরণকে সাধারণ আকারে রূপান্তর করি: \[ \frac{x^2}{\frac{1}{p}} + \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1 \] অথবা, \[ \frac{x^2}{\frac{1}{p}} + \frac{y^2}{\frac{1}{4}} = 1 \] এখানে, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য হলো \( 2a \), যেখানে \( a \) হলো অক্ষের অর্ধেক দৈর্ঘ্য। উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষের অক্ষাংশের মান নির্ণয় করতে হলে, উপবৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে যেখানে উপবৃত্তটি \(\pm 1, 0\) বিন্দুগামী হয়। দেখি, যেখানে \( y = 0 \): \[ px^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{p} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{p}} \] অর্থাৎ, বিন্দুগামী: \[ (\pm \frac{1}{\sqrt{p}}, 0) \] প্রশ্নে বলা হয়েছে, এই বিন্দুগামী হলে, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য কত? উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য হলো: \[ 2a = 2 \times \frac{1}{\sqrt{p}} \] তাহলে, \[ 2a = \frac{2}{\sqrt{p}} \] এখন, \( p \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। কারণ, বিন্দুগামী হলো \(\pm 1, 0 \), অর্থাৎ, এই বিন্দু উপবৃত্তের উপর পড়ে। তাই, \[ p \times (1)^2 + 4 \times 0^2 = 1 \Rightarrow p = 1 \] অর্থাৎ, \( p = 1 \) হলে উপবৃত্তের সমীকরণ: \[ x^2 + 4y^2 = 1 \] এবং বিন্দুগামী: \[ (\pm 1, 0) \] অতএব, \[ 2a = \frac{2}{\sqrt{1}} = 2 \] সুতরাং, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য হলো: \[ \boxed{2 \text{ একক}} \] উত্তর: 2 একক