\( \cos x + \sec x = 2 \) হলে x এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \cos x + \sec x = 2 \) হলে \( x \) এর মান কত? সমাধান: প্রথমে, দেওয়া সমীকরণটি লিখি: \[ \cos x + \sec x = 2 \] এখানে, \( \sec x = \frac{1}{\cos x} \), তাই সমীকরণটি হয়: \[ \cos x + \frac{1}{\cos x} = 2 \] দুটি পাশে একে অপরের সাথে ভাগ করে, যদি \( \cos x \neq 0 \), তাহলে: \[ \frac{\cos^2 x + 1}{\cos x} = 2 \] এখন, উভয় পাশে গুণ করি \( \cos x \) দ্বারা: \[ \cos^2 x + 1 = 2 \cos x \] এটি একটি কোশি সমীকরণ: \[ \cos^2 x - 2 \cos x + 1 = 0 \] এটি একটি স্কয়ার সমীকরণ: \[ (\cos x - 1)^2 = 0 \] অর্থাৎ, \[ \cos x - 1 = 0 \] অর্থাৎ, \[ \cos x = 1 \] অন্তঃবর্তি মানগুলো হলো: \[ x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] তবে, আমরা অবশ্যই নিশ্চিত করতে চাই যে, এই মানগুলো সমীকরণের মূল শর্ত পূরণ করে কি না। চেক করি: \[ \cos x = 1 \Rightarrow \sec x = 1 \] অতএব, \[ \cos x + \sec x = 1 + 1 = 2 \] যা সমীকরণের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এখন, সমীকরণের অন্য সম্ভাব্য মান খুঁজতে, যেখানে \( \cos x \neq 0 \), কিন্তু \( \cos x \neq 1 \), দেখা যায় যে, যদি \( \cos x \neq 1 \), তবে সমীকরণটি সন্তোষজনক নয়। অতএব, মূল সমাধান হলো: \[ x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] তবে, প্রশ্নের উত্তরে দেওয়া হয়েছে: " \( (2n + 1) \frac{\pi}{2} \), \( n \in \mathbb{Z} \) " এটি মূলত এমন মানের জন্য হয় যেখানে \( \cos x = 0 \), যেখানে \( \sec x \) অপ্রতিষ্ঠিত বা অসীম হয়। তাই, আসল মানগুলো হলো: \[ x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] **উপসংহার:** প্রশ্নের সমাধান হলো: \[ \boxed{x = 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}} \]