রেল লাইনের একটি বাঁকের ব্যাসার্ধ 99m এবং লাইনের পাত দুইটির মধ্যে দূরত্ব 1.5m। ভিতরের পাত অপেক্ষা বাহিরের পাত কতখানি উঁচু হলে বাহিরের পাত কোনরূপ চাপ প্রয়ােগ না করে একটি ট্রেন 9.8m/sec দ্রুতিতে বাঁক নিতে পারবে?

রেল লাইনের বাঁকে উচ্চতা নির্ণয় 🛤️

এখানে, একটি রেল লাইনের বাঁকের ব্যাসার্ধ \( r = 99 \) m এবং লাইন দুটির মধ্যে দূরত্ব \( d = 1.5 \) m। ট্রেনটির দ্রুতি \( v = 9.8 \) m/s। আমাদের নির্ণয় করতে হবে ভিতরের পাত অপেক্ষা বাইরের পাত কতখানি উঁচু হলে ট্রেনটি নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে। 🤔

আমরা জানি, ব্যাংকিং কোণ \( \theta \) হলে,
\( \tan \theta = \frac{v^2}{rg} \) 📐
যেখানে, \( g = 9.8 \) m/s\(^2\) (অভিকর্ষজ ত্বরণ)। 🌍

সুতরাং,
\( \tan \theta = \frac{(9.8)^2}{99 \times 9.8} = \frac{9.8}{99} \)
\( \theta = \tan^{-1} \left( \frac{9.8}{99} \right) \)

যেহেতু \( \theta \) খুব ছোট, তাই \( \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta \) (রেডিয়ানে)। 🤓
সুতরাং, \( \theta \approx \frac{9.8}{99} \) радиан।

এখন, যদি উচ্চতার পার্থক্য \( h \) হয়, তবে
\( \sin \theta = \frac{h}{d} \)
\( h = d \sin \theta \approx d \theta \) (যেহেতু \( \theta \) ছোট)

অতএব, \( h = 1.5 \times \frac{9.8}{99} = \frac{14.7}{99} \approx 0.148 \) m। 📏

সুতরাং, ভিতরের পাত অপেক্ষা বাহিরের পাত 0.148 m উঁচু হলে বাহিরের পাত কোনোরূপ চাপ প্রয়ােগ না করে একটি ট্রেন 9.8 m/sec দ্রুতিতে বাঁক নিতে পারবে। 🎉