X ও Y যে কোন দুইটি সেট হলে X\Y = কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(X\) ও \(Y\) যে কোন দুইটি সেট হলে \(X \setminus Y\) কত?

উত্তর হলো: \(\{Y'\} \setminus \{X'\}\)

সাধারণত, সেট থিওরিতে, \(X \setminus Y\) এর মানে হলো সেট \(X\) থেকে সেট \(Y\)-এর উপাদানগুলো বাদ দেওয়া।

অর্থাৎ:

\[ X \setminus Y = \{ x \mid x \in X \text{ এবং } x \notin Y \} \]

যেহেতু, \(X'\) এবং \(Y'\) হলো \(X\) ও \(Y\) এর কমপ্লিমেন্ট (বা পরিপূরক), অর্থাৎ:

\[ X' = \{ x \mid x \notin X \} \] \[ Y' = \{ y \mid y \notin Y \} \]

আমাদের লক্ষ্য হলো \(X \setminus Y\) এর সমাধান দেওয়া।

প্রথমত, \(X \setminus Y\) কে ডিফারেন্সের ডিফারেন্সের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:

\[ X \setminus Y = X \cap Y' \]

এখন, যদি আমরা সেটের পরিপূরক ব্যবহার করি, তাহলে:

\[ X = (X')' \quad \text{এবং} \quad Y = (Y')' \]

তাহলে:

\[ X \cap Y' = (X')' \cap Y' \]

অর্থাৎ, \(X \setminus Y\) এর সমাধান হলো:

\[ X \setminus Y = (X')' \cap Y' \]

এটি যদি প্রকাশ করতে হয়, তবে সেটের পরিপূরক পরিবর্তন করে, আমরা পাই:

\[ X \setminus Y = (Y') \setminus (X') \]

অতএব, উত্তর হলো: