Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী:
\[
\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}
\]
আমরা জানি, যদি \(\sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2}\), তবে:
\[
\sin^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x
\]
এখন, \(\sin^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x\) হলে,
\[
y = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x\right)
\]
সাধারণ সূত্র অনুযায়ী:
\[
\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta
\]
অতএব,
\[
y = \cos (\sin^{-1} x)
\]
আমরা জানি, \(\cos (\sin^{-1} x) = \sqrt{1 - x^2}\), কারণ:
\[
\sin^{-1} x = \theta \Rightarrow x = \sin \theta \Rightarrow \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}
\]
অর্থাৎ,
\[
y = \sqrt{1 - x^2}
\]
এখন, আমাদের মূল প্রশ্ন:
\[
xsqrt(1 - y^2) + y \sqrt{1 - x^2}
\]
প্রথমে, \(1 - y^2\):
\[
1 - y^2 = 1 - (\sqrt{1 - x^2})^2 = 1 - (1 - x^2) = x^2
\]
অতএব,
\[
\sqrt{1 - y^2} = \sqrt{x^2} = |x|
\]
এবং, \(1 - x^2\):
\[
\sqrt{1 - x^2}
\]
তাই, মূল expression:
\[
x \times |x| + y \times \sqrt{1 - x^2}
\]
চলুন, \(x \geq 0\) ধরি (যেহেতু \(\sin^{-1} x\) এর মান \(-\frac{\pi}{2}\) থেকে \(\frac{\pi}{2}\) এর মধ্যে, এবং \(x\) এর মান এই রেঞ্জে থাকলে, \(x\) ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে।)
তাহলে, \(x \geq 0\) হলে:
\[
|x| = x
\]
অতএব,
\[
x \times x + y \times \sqrt{1 - x^2}
\]
\[
= x^2 + \sqrt{1 - x^2} \times \sqrt{1 - x^2}
\]
\[
= x^2 + (1 - x^2) = 1
\]
**উত্তর: \(\boxed{1}\)**
