f(x) = tan^-1x হলে—

1.  2f(x)=tan^-1 ((2x)/(1-x^2))
2. 2f(x)=sin^-1 ((2x)/(1-x^2))
   
3. 2f(x)=cos^-1 ((1-x^2)/(1+x^2))

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রদত্ত ফাংশন: \(f(x) = \tan^{-1} x\) আমাদের লক্ষ্য হলো উপস্থাপিত বিকল্পগুলো থেকে সঠিকটি নির্ণয় করা: (i) \(2f(x) = \tan^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)\) (ii) \(2f(x) = \sin^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)\) (iii) \(2f(x) = \cos^{-1} \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right)\) --- ### বিশ্লেষণ: #### 1. প্রথম বিকল্প: \(2f(x) = \tan^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)\) এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিচিত সমীকরণ: \[ \text{If } y = \tan^{-1} x, \text{তাহলে } 2y = \tan^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \] **ব্যাখ্যা:** - এটি সম্পূর্ণভাবে পরিচিত যে, \[ \tan(2y) = \frac{2 \tan y}{1 - \tan^2 y} \] - যেহেতু \(f(x) = \tan^{-1} x\), তাহলে: \[ 2f(x) = 2 \tan^{-1} x \] - অতএব, \[ \tan(2f(x)) = \frac{2 \tan f(x)}{1 - \tan^2 f(x)} = \frac{2x}{1 - x^2} \] - এর অর্থ, \[ 2f(x) = \tan^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \] **অর্থাৎ, প্রথম বিকল্পটি সঠিক।** --- #### 2. দ্বিতীয় বিকল্প: \(2f(x) = \sin^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right)\) - এই সমীকরণটি সঠিক নয় কারণ: \[ \sin(2f(x)) = 2 \sin f(x) \cos f(x) \] - যদি \(f(x) = \tan^{-1} x\), তাহলে: \[ \sin f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}, \quad \cos f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \] - অতএব, \[ \sin(2f(x)) = 2 \times \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \times \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{2x}{1 + x^2} \] - এর মানে, \[ 2f(x) = \sin^{-1} \left(\frac{2x}{1 + x^2}\right) \] - কিন্তু প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণে: \[ 2f(x) = \sin^{-1} \left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \] - যেখানে ডেনোমিনেটরটি ভুল। সুতরাং, দ্বিতীয় বিকল্পটি সঠিক নয়। --- #### 3. তৃতীয় বিকল্প: \(2f(x) = \cos^{-1} \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right)\) - আমাদের জানা আছে: \[ \cos(2f(x)) = 2 \cos^2 f(x) - 1 \] - যেমন, \[ \cos f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \] - অতএব, \[ \cos(2f(x)) = 2 \times \frac{1}{1 + x^2} - 1 = \frac{2}{1 + x^2} - 1 = \frac{2 - (1 + x^2)}{1 + x^2} = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \] - ফলে, \[ 2f(x) = \cos^{-1} \left(\frac{1 - x^2}{1 + x^2}\right) \] - এর মানে, তৃতীয় বিকল্পটি সঠিক। --- ### **সারসংক্ষেপ:** - বিকল্প (i) সঠিক। - বিকল্প (ii) ভুল। - বিকল্প (iii) সঠিক। অতএব, সঠিক উত্তর হলো: **"i ও iii"** --- ### **উত্তর:** ```html

প্রশ্নের সমাধানে দেখা যাচ্ছে যে,

• প্রথম বিকল্পটি সঠিক কারণ এটি ট্রিগনোমেট্রিক পরিচিত ফরমুলা অনুসারে সত্য।
• দ্বিতীয় বিকল্পটি ভুল কারণ এখানে ডেনোমিনেটর ভুলভাবে দেওয়া হয়েছে।
• তৃতীয় বিকল্পটি সঠিক কারণ এটি ডাবল এঙ্গেল ট্রিগনোমেট্রিক এর সূত্র অনুসারে সঠিক।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো: "i ও iii"

```