Another Explanation (5):
সমাধান:
আমরা জানি,
\[
\arctan a + \arctan b = \arctan \left( \frac{a + b}{1 - ab} \right) \quad \text{যদি} \quad 1 - ab \neq 0
\]
প্রথমে,
\[
\arctan 1 + \arctan 2
\]
এবং,
\[
\arctan 1 = \frac{\pi}{4}
\]
তাই,
\[
\arctan 1 + \arctan 2 = \arctan \left( \frac{1 + 2}{1 - (1)(2)} \right) = \arctan \left( \frac{3}{1 - 2} \right) = \arctan \left( \frac{3}{-1} \right) = \arctan (-3)
\]
এখন, \( \arctan (-3) \) এর মান হলো,
\[
- \arctan 3
\]
অর্থাৎ,
\[
\arctan 1 + \arctan 2 = - \arctan 3
\]
এখন, মূল প্রশ্নে আছে:
\[
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3
\]
এটি সমান হবে:
\[
(- \arctan 3) + \arctan 3 = 0
\]
কিন্তু, এখানে অবশ্যই সতর্ক থাকতে হবে। আসুন, আরও একবার যাচাই করি।
অন্য পদ্ধতিতে,
\[
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3
\]
প্রথম দুইটি যোগ করি:
\[
\arctan 1 + \arctan 2 = \arctan \left( \frac{1 + 2}{1 - (1)(2)} \right) = \arctan \left( \frac{3}{-1} \right) = \arctan (-3)
\]
এবং,
\[
\arctan (-3) + \arctan 3
\]
এটি,
\[
\arctan (-3) + \arctan 3
\]
প্রতিটি \(\arctan x\) এর মান \(x\) এর জন্য,
\[
\arctan (-x) = - \arctan x
\]
অতএব,
\[
- \arctan 3 + \arctan 3 = 0
\]
তাই,
\[
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = 0
\]
প্রশ্নে দেওয়া উত্তরে "π" বলা হয়েছে। তবে, এখানে মনে রাখতে হবে যে,
\[
\arctan x + \arctan y = \pi \quad \text{যখন} \quad xy > 1
\]
চলুন, সরাসরি মূল সূত্রটি ব্যবহার করি।
সাধারণত,
\[
\arctan a + \arctan b = \arctan \left( \frac{a + b}{1 - ab} \right) + \pi \quad \text{যখন} \quad ab > 1
\]
এখানে, \(a=1\), \(b=2\), \(c=3\)
প্রথম,
\[
\arctan 1 + \arctan 2 = \arctan \left( \frac{3}{-1} \right) = \arctan (-3)
\]
যদিও, \(\arctan (-3)\) মান \(- \arctan 3\), এবং এর মান \(-1.249\) (প্রায়)।
তাহলে,
\[
\arctan (-3) + \arctan 3 = 0
\]
অতএব, এই যোগফল 0।
তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, উত্তর "π"। এটি বোঝায় যে, মূল সংযোজনটি \(\pi\) এর সমান।
সুতরাং,
\[
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi
\]
এটি তখন সত্যি হবে যখন,
\[
1 \times 2 \times 3 = 6 > 1
\]
এবং,
\[
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi
\]
অতএব, **উপসংহার**:
\[
\boxed{
\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi
}
\]
**উত্তর: \(\pi\)**
