tan^-12 = A, tan^-13 = B এবং A + B + C =  pi

উদ্দীপকটিতে -

1. tan^-12 এর পূরক কোণ cot^-12
2. C এর পূরক কোণ  pi/4 
3. A- B এর পূরক কোণ  pi/2 + tan^-1 (1/7)

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া হয়েছে: A = \(\tan^{-1} 2\) B = \(\tan^{-1} 3\) এবং, A + B + C = \(\pi\) আমরা নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর খুঁজব: i. \(\tan^{-1} 2\) এর পূরক কোণ = \(\cot^{-1} 2\) ii. C এর পূরক কোণ = \(\frac{\pi}{4}\) iii. A - B এর পূরক কোণ = \(\frac{\pi}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{7}\) --- **ধাপ 1: A + B এর মান নির্ণয়** আমরা জানি: \[ A = \tan^{-1} 2,\quad B = \tan^{-1} 3 \] তাহলে, \[ A + B = \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 \] একটি কাল্পনিক সূত্র অনুযায়ী, যদি \(x = \tan^{-1} a\) এবং \(y = \tan^{-1} b\), তবে: \[ x + y = \tan^{-1} \left(\frac{a + b}{1 - ab}\right) \] অতএব, \[ A + B = \tan^{-1} \left(\frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{5}{1 - 6}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{5}{-5}\right) = \tan^{-1}(-1) \] এখন, \[ \tan^{-1}(-1) = - \frac{\pi}{4} \] তাই, \[ A + B = - \frac{\pi}{4} \] --- **ধাপ 2: C এর মান নির্ণয়** প্রশ্নে দেওয়া আছে: \[ A + B + C = \pi \] অর্থাৎ, \[ - \frac{\pi}{4} + C = \pi \] অতএব, \[ C = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \] --- **ধাপ 3: C এর পূরক কোণ নির্ণয়** পূরক কোণ = \(\pi - \) মূল কোণ সুতরাং, \[ \text{Pourokkon} \ C = \pi - \frac{5\pi}{4} = - \frac{\pi}{4} \] অর্থাৎ, C এর পূরক কোণ = \(- \frac{\pi}{4}\) --- **ধাপ 4: A - B এর পূরক কোণ নির্ণয়** প্রথমে, A - B এর মান নির্ণয় করি। \[ A - B = \tan^{-1} 2 - \tan^{-1} 3 \] আমরা জানি, \[ \tan^{-1} a - \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a - b}{1 + ab} \right) \] অতএব, \[ A - B = \tan^{-1} \left( \frac{2 - 3}{1 + 2 \cdot 3} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{-1}{1 + 6} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{-1}{7} \right) \] এখানে, \[ A - B = - \tan^{-1} \left( \frac{1}{7} \right) \] পূরক কোণ = \(\pi/2 - \theta\) সুতরাং, \[ \text{Pourokkon} (A - B) = \pi/2 - (A - B) = \frac{\pi}{2} - \left( - \tan^{-1} \frac{1}{7} \right) = \frac{\pi}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{7} \] --- **উপসংহার:** - i. \(\tan^{-1} 2\) এর পূরক কোণ = \(\cot^{-1} 2\) (সঠিক, কারণ \(\cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x}\), কিন্তু এখানে \(\cot^{-1} 2\) মানে \(\tan^{-1} \frac{1}{2}\), যা ভিন্ন। তবে, সাধারণত \(\cot^{-1} x\) হলো \(\tan^{-1} \frac{1}{x}\)। তাই, \(\tan^{-1} 2\) এর পূরক কোণ = \(\cot^{-1} 2\) অর্থাৎ \(\tan^{-1} \frac{1}{2}\)। সুতরাং, এটি সঠিক। - ii. C এর পূরক কোণ = \(\frac{\pi}{4}\)? না, কারণ C এর পূরক কোণ = \(- \frac{\pi}{4}\)। এটি সঠিক নয়। - iii. A - B এর পূরক কোণ = \(\frac{\pi}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{7}\)? হ্যাঁ, এটি সঠিক। তাই, সঠিক উত্তর হলো: **i ও iii**। তবে প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে "i ও ii"। তবে, বিশ্লেষণে দেখা গেছে ii ভুল। **সুতরাং, সঠিক উত্তরের জন্য উপযুক্ত উত্তর হবে:** **"i ও iii"**। --- **সম্পূর্ণ সমাধান HTML এ:** ```html

প্রথমে, A + B এর মান নির্ণয় করি:

A = tan^-1 2, B = tan^-1 3

তাহলে,

A + B = tan^-1 2 + tan^-1 3 = tan^{-1 (} (2 + 3) / (1 - 2 * 3) ⁾ = tan^-1 (5 / -5) = tan^-1 (-1) = -π/4

এখন, C এর মান নির্ণয় করি:

এবং, A + B + C = π, তাহলে,

-π/4 + C = π

অতএব,

C = π + π/4 = 5π/4

পূরক কোণ = π - মূল কোণ, সুতরাং,

C এর পূরক কোণ = π - 5π/4 = -π/4

এবং, A - B এর মান:

A - B = tan^-1 2 - tan^-1 3 = tan^{-1 (} (2 - 3) / (1 + 2 * 3) ⁾ = tan^-1 (-1 / 7)

অর্থাৎ,

A - B = - tan^-1 (1/7)

পূরক কোণ = π/2 - (A - B) = π/2 - ( - tan^-1 (1/7) ) = π/2 + tan^-1 (1/7)

সুতরাং, উত্তর: i ও iii।

```