একটি বৃত্তের কেন্দ্র (2, -3) এবং বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে।
বৃত্তটির সমীকরণ কোনটি?
x²+y²-4x+6y+9=0
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
- বৃত্তের কেন্দ্র \(C(2, -3)\)
- বৃত্তটি y-অক্ষকে স্পর্শ করে।
প্রথমে, বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হল:
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
এখানে, \(h=2\), \(k=-3\)। তাহলে সমীকরণ হবে:
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = r^2 \]
যেহেতু বৃত্ত y-অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে স্পর্শের বিন্দু হবে যেখানে \(x=0\)।
তাহলে, স্পর্শ বিন্দুতে, \(x=0\), এবং সমীকরণ থেকে:
\[ (0 - 2)^2 + (y + 3)^2 = r^2 \]
\[ 4 + (y + 3)^2 = r^2 \]
অর্থাৎ, রেডিয়াসের দৈর্ঘ্য \(r\) এর স্কোয়ার:
\[ r^2 = 4 + (y + 3)^2 \]
অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে y-অক্ষের দূরত্ব হল \(x\)-অক্ষের থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব।
যেহেতু y-অক্ষ স্পর্শ করছে, এই দূরত্ব হবে রেডিয়াসের দৈর্ঘ্য।
দূরত্ব = |x-coordinate of center| = |2|= 2।
অর্থাৎ, \(r=2\) এবং \(r^2=4\) হবে।
এখন, রেডিয়াসের সমীকরণে মান বসিয়ে দিলে:
\[ r^2 = 4 + (y + 3)^2 \]
\[ 4 = 4 + (y + 3)^2 \]
অর্থাৎ,
\[ (y + 3)^2 = 0 \]
যা শুধুমাত্র একটিই বিন্দু, অর্থাৎ y = -3।
অতএব, বৃত্তের সমীকরণটি হবে:
\[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 \]
এটি সাধারণ রূপে লিখলে:
\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 4 \]
অথবা,
\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 4 \]
অতএব, সমীকরণ:
\[ x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0 \]
অতএব, সঠিক উত্তর হল: \(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0\).