একটি বৃত্ত (2,1), (-6,5) ও (-3,-4) বিন্দুত্রয় দিয়ে অতিক্রম করে। বৃত্তটির সমীকরণ কোনটি?

বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়

ধরি, বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:

\(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)

যেহেতু বৃত্তটি (2,1), (-6,5) ও (-3,-4) বিন্দুত্রয় দিয়ে যায়, তাই এই বিন্দুগুলো বৃত্তের সমীকরণকে সিদ্ধ করবে।

(2,1) বিন্দু দ্বারা:

\(2^2 + 1^2 + 2g(2) + 2f(1) + c = 0\)
\(4 + 1 + 4g + 2f + c = 0\)
\(4g + 2f + c = -5\) .....(1)

(-6,5) বিন্দু দ্বারা:

\((-6)^2 + 5^2 + 2g(-6) + 2f(5) + c = 0\)
\(36 + 25 - 12g + 10f + c = 0\)
\(-12g + 10f + c = -61\) .....(2)

(-3,-4) বিন্দু দ্বারা:

\((-3)^2 + (-4)^2 + 2g(-3) + 2f(-4) + c = 0\)
\(9 + 16 - 6g - 8f + c = 0\)
\(-6g - 8f + c = -25\) .....(3)

এখন, (1), (2) ও (3) নং সমীকরণ সমাধান করে g, f ও c এর মান বের করতে হবে।

(2) - (1) => \(-16g + 8f = -56\)
\(-2g + f = -7\) .....(4)

(3) - (1) => \(-10g - 10f = -20\)
\(-g - f = -2\) .....(5)

(4) + (5) => \(-3g = -9\)
\(g = 3\)

g এর মান (5) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(-3 - f = -2\)
\(f = -1\)

g ও f এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

\(4(3) + 2(-1) + c = -5\)
\(12 - 2 + c = -5\)
\(10 + c = -5\)
\(c = -15\)

সুতরাং, বৃত্তের সমীকরণ:

\(x^2 + y^2 + 2(3)x + 2(-1)y - 15 = 0\)
\(x^2 + y^2 + 6x - 2y - 15 = 0\)

অতএব, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: \(x^2 + y^2 + 6x - 2y - 15 = 0\)

🎉🎉🎉