2x-y=3 রেখার উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত (3,-2)এবং (-2,0) বিন্দু দুইটি দিয়ে অতিক্রম করে।বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় কর।

Explanation:

Another Explanation (5): বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) \) এবং এটি \( 2x - y = 3 \) রেখার উপর অবস্থিত। সুতরাং, \[ 2h - k = 3 \hspace{1cm} (1) \] বৃত্তটি \( (3, -2) \) ও \( (-2, 0) \) বিন্দু দিয়ে যায়। তাই, এই বিন্দুগুলো থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব সমান হবে (অর্থাৎ ব্যাসার্ধ)। \[ (h - 3)^2 + (k + 2)^2 = (h + 2)^2 + (k - 0)^2 \] \[ h^2 - 6h + 9 + k^2 + 4k + 4 = h^2 + 4h + 4 + k^2 \] \[ -6h + 4k + 13 = 4h + 4 \] \[ 10h - 4k = 9 \hspace{1cm} (2) \] এখন, \( (1) \) থেকে পাই, \( k = 2h - 3 \)। এই মান \( (2) \) এ বসিয়ে পাই, \[ 10h - 4(2h - 3) = 9 \] \[ 10h - 8h + 12 = 9 \] \[ 2h = -3 \] \[ h = -\frac{3}{2} \] তাহলে, \( k = 2(-\frac{3}{2}) - 3 = -3 - 3 = -6 \) সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (-\frac{3}{2}, -6) \)। বৃত্তের ব্যাসার্ধ, \( r = \sqrt{(-\frac{3}{2} - 3)^2 + (-6 + 2)^2} \) \[ = \sqrt{(-\frac{9}{2})^2 + (-4)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{81}{4} + 16} = \sqrt{\frac{81 + 64}{4}} = \sqrt{\frac{145}{4}} \] বৃত্তের সমীকরণ: \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \) \[ (x + \frac{3}{2})^2 + (y + 6)^2 = \frac{145}{4} \] \[ x^2 + 3x + \frac{9}{4} + y^2 + 12y + 36 = \frac{145}{4} \] \[ x^2 + y^2 + 3x + 12y + \frac{9}{4} + \frac{144}{4} = \frac{145}{4} \] \[ x^2 + y^2 + 3x + 12y + \frac{153}{4} = \frac{145}{4} \] \[ x^2 + y^2 + 3x + 12y = \frac{145}{4} - \frac{153}{4} \] \[ x^2 + y^2 + 3x + 12y = -\frac{8}{4} \] \[ x^2 + y^2 + 3x + 12y = -2 \] \[ x^2 + y^2 + 3x + 12y + 2 = 0 \] সুতরাং, বৃত্তটির সমীকরণ: \( x^2 + y^2 + 3x + 12y + 2 = 0 \) 🎉