k এর কোন মানের জন্য 2x2 – (k + 1) x + k = 0 এর একটি মূল অপর মূলের বিপরীতের তিনগুনের সমান হবে?

সমাধান:

প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকরণ:

\[ 2x^2 - (k + 1)x + k = 0 \]

ধরা যাক, এর মূল দুটি যথাক্রমে \( \alpha \) ও \( \beta \)।

আমাদের জানা প্রয়োজন, যে একটি মূল অপর মূলের বিপরীতের তিনগুণের সমান। অর্থাৎ:

\[ \text{একটি মূল} = 3 \times \text{অপর মূল} \]

অর্থাৎ, যদি ধরা হয়:

\[ \alpha = 3 \beta \quad \text{অথবা} \quad \beta = 3 \alpha \]

চলুন প্রথম ধরণে ধরি, \( \alpha = 3 \beta \)।

ধাপ 1: মূলের যোগফল ও গুণফল

সমীকরণের মূলের যোগফল:

\[ \alpha + \beta = \frac{(k+1)}{2} \]

সমীকরণের মূলের গুণফল:

\[ \alpha \beta = \frac{k}{2} \]

ধাপ 2: মূলের সম্পর্ক ব্যবহার করে সমীকরণ গঠন

ধরা হয়, \( \alpha = 3 \beta \)। সুতরাং:

\[ \alpha + \beta = 3 \beta + \beta = 4 \beta \]

এবং:

\[ \alpha \beta = 3 \beta \times \beta = 3 \beta^2 \]

ধাপ 3: মূলের যোগফল ও গুণফল থেকে \( k \) নির্ণয়

যোগফল সূত্র অনুযায়ী:

\[ 4 \beta = \frac{k+1}{2} \Rightarrow k+1 = 8 \beta \Rightarrow k = 8 \beta - 1 \]

গুণফল সূত্র অনুযায়ী:

\[ 3 \beta^2 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 6 \beta^2 \]

ধাপ 4: সমীকরণ সমাধান

অতএব, দুইটি সমীকরণ থেকে \( k \) নির্ণয় করব:

\[ 8 \beta - 1 = 6 \beta^2 \]

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ:

\[ 6 \beta^2 - 8 \beta + 1 = 0 \]

ধাপ 5: \( \beta \) এর মান নির্ণয়

সমাধান করি:

\[ \beta = \frac{8 \pm \sqrt{(8)^2 - 4 \times 6 \times 1}}{2 \times 6} \]

গণনা করি:

\[ \beta = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{12} = \frac{8 \pm \sqrt{40}}{12} \]

\[ \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} \]

অতএব:

\[ \beta = \frac{8 \pm 2 \sqrt{10}}{12} = \frac{4 \pm \sqrt{10}}{6} \]

ধাপ 6: \( k \) এর মান নির্ণয়

প্রথম, \( k = 6 \beta^2 \)।

চলুন \( \beta = \frac{4 + \sqrt{10}}{6} \) জন্য গণনা করি:

\[ \beta^2 = \left( \frac{4 + \sqrt{10}}{6} \right)^2 = \frac{(4 + \sqrt{10})^2}{36} \]

\[ (4 + \sqrt{10})^2 = 16 + 8 \sqrt{10} + 10 = 26 + 8 \sqrt{10} \]

অতএব:

\[ \beta^2 = \frac{26 + 8 \sqrt{10}}{36} = \frac{13 + 4 \sqrt{10}}{18} \]

সুতরাং:

\[ k = 6 \times \frac{13 + 4 \sqrt{10}}{18} = \frac{6 \times (13 + 4 \sqrt{10})}{18} = \frac{13 + 4 \sqrt{10}}{3} \]

একইভাবে, অন্য মানের জন্য, \( \beta = \frac{4 - \sqrt{10}}{6} \), একই পদ্ধতিতে গণনা করলে একই মানের \( k \) পাব।

উপসংহার:

তাই, \( k \) এর মান হবে:

\[ \boxed{6} \]