lim_(x->oo)f(x)=1 হলে কোনটি সত্য?

প্রশ্নের বিশ্লেষণ:

প্রশ্নে বলা হয়েছে, যদি \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1\), তাহলে কোনটি সত্য?

উত্তরটি দেওয়া হয়েছে: f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} \right)

সমাধান:

প্রথমে, আমরা দেখব \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) এর মান কি হয় যদি \(f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} \right)\)।

ধাপে ধাপে সমাধান:

1. প্রতিস্থাপন করি \(t = \frac{1}{x}\), তখন যখন \(x \to \infty\), তখন \(t \to 0^+\)।
2. তাহলে, \(f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{t} \sin(t)\).
3. অর্থাৎ, \(\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t}\).

এই লিমিটের মান:

আমরা জানি, \(\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1\)।

অর্থাৎ:

সুতরাং:

যেহেতু \(f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} \right)\) এর জন্য লিমিট 1 হয় যখন \(x \to \infty\), তাই দেয়া শর্তের ক্ষেত্রে এই ফাংশনটি সত্য।

উত্তর:

হ্যাঁ, যদি \(f(x) = x \sin \left( \frac{1}{x} \right)\) হয়, তাহলে \(\lim_{x \to \infty} f(x) = 1\)।