int_0^1(2x)/(1+x^2)dx  এর মান- 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^1 \frac{2x}{1 + x^2} dx\) এর মান কি? উত্তর: "ln 2" সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রেশনটি পুনরায় লিখুন: \[ \int_0^1 \frac{2x}{1 + x^2} dx \] এখানে, \(u\)-substitution ব্যবহার করা যেতে পারে। ধরা যাক, \[ u = 1 + x^2 \] তাহলে, \[ du = 2x dx \] এখন, সীমাগুলিকে পরিবর্তন করুন: যখন \(x = 0\), \[ u = 1 + 0^2 = 1 \] যখন \(x = 1\), \[ u = 1 + 1^2 = 2 \] অতএব, ইন্টিগ্রালটি হবে: \[ \int_{u=1}^{2} \frac{1}{u} du \] এটি সাধারণত লগারিথমিক ইন্টিগ্রাল: \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = \left[ \ln |u| \right]_1^2 = \ln 2 - \ln 1 \] অর্থাৎ, \[ \ln 2 - 0 = \ln 2 \] অতএব, \[ \boxed{\int_0^1 \frac{2x}{1 + x^2} dx = \ln 2} \]