x=1 এর জন্য  int x^2/(1+x^6) dx এর মান  pi/12 হলে, যোগজীকরণ ধ্রুবক c এর মান কত?

দেওয়া আছে, \( \int \frac{x^2}{1+x^6} dx \) এবং \( x=1 \) এর জন্য যোগজটির মান \( \frac{\pi}{12} \)। আমাদের যোগজীকরণ ধ্রুবক \( c \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, আমরা যোগজটি নির্ণয় করি:

\( \int \frac{x^2}{1+x^6} dx = \int \frac{x^2}{1+(x^3)^2} dx \)

ধরি, \( u = x^3 \), তাহলে \( du = 3x^2 dx \) বা \( x^2 dx = \frac{1}{3} du \)।

সুতরাং, যোগজটি হবে:

\( \int \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1+u^2} du \)

আমরা জানি, \( \int \frac{1}{1+u^2} du = \tan^{-1}(u) + c_1 \), যেখানে \( c_1 \) একটি যোগজীকরণ ধ্রুবক।

অতএব, \( \frac{1}{3} \int \frac{1}{1+u^2} du = \frac{1}{3} \tan^{-1}(u) + c \)

\( u \) এর মান বসিয়ে পাই:

\( \int \frac{x^2}{1+x^6} dx = \frac{1}{3} \tan^{-1}(x^3) + c \)

এখন, \( x=1 \) এর জন্য যোগজের মান \( \frac{\pi}{12} \) দেওয়া আছে। সুতরাং,

\( \frac{1}{3} \tan^{-1}(1^3) + c = \frac{\pi}{12} \)

\( \frac{1}{3} \tan^{-1}(1) + c = \frac{\pi}{12} \)

আমরা জানি, \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \)। সুতরাং,

\( \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{4} + c = \frac{\pi}{12} \)

\( \frac{\pi}{12} + c = \frac{\pi}{12} \)

\( c = \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{12} \)

\( c = 0 \)

অতএব, যোগজীকরণ ধ্রুবক \( c \) এর মান 0। 🎉