int1/(e^(ax)+e^(-1x))dx=?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: ধরি, \(I = \int \frac{1}{e^{ax} + e^{-ax}} dx\) 🧐 আমরা \(e^{ax}\) কমন নিতে পারি: \(I = \int \frac{1}{e^{ax}(1 + e^{-2ax})} dx\) \(I = \int \frac{e^{-ax}}{1 + e^{-2ax}} dx\) এখন, ধরি \(u = e^{-ax}\)। তাহলে, \(\frac{du}{dx} = -ae^{-ax}\), সুতরাং \(dx = \frac{du}{-ae^{-ax}}\). তাহলে, \(I = \int \frac{e^{-ax}}{1 + u^2} \frac{du}{-ae^{-ax}}\) \(I = \int \frac{1}{1 + u^2} \frac{du}{-a}\) \(I = -\frac{1}{a} \int \frac{1}{1 + u^2} du\) আমরা জানি, \(\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \tan^{-1}(x) + C\). সুতরাং, \(I = -\frac{1}{a} \tan^{-1}(u) + C\) এখন \(u\) এর মান বসিয়ে পাই, \(I = -\frac{1}{a} \tan^{-1}(e^{-ax}) + C\) এখন আপনার দেওয়া উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য আমরা একটু অন্যভাবে লিখতে পারি🤔: \(I = -\frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{1}{e^{ax}}\right) + C\) আমরা জানি, \(\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}\). সুতরাং, \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(x)\). তাহলে, \(I = -\frac{1}{a} \left(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(e^{ax})\right) + C\) \(I = \frac{1}{a} \tan^{-1}(e^{ax}) - \frac{\pi}{2a} + C\) যেহেতু \(-\frac{\pi}{2a}\) একটি ধ্রুবক, তাই এটিকে \(C\) এর সাথে যোগ করে নতুন ধ্রুবক \(C'\) লেখা যায়। \(I = \frac{1}{a} \tan^{-1}(e^{ax}) + C'\) 🎉 সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো: \(I = \frac{1}{a} \arctan(e^{ax}) + C\) আপনার দেওয়া উত্তরটি সঠিক নয়। ❌