int_0^(pi/2)sin^3xdx -এর মান কত?

আমরা \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \, dx \) এর মান নির্ণয় করব।

আমরা জানি, \( \sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x = \sin x (1 - \cos^2 x) \)।

সুতরাং, \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \, dx = \int_{0}^{\pi/2} \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx \)

ধরি, \( \cos x = u \), তাহলে \( -\sin x \, dx = du \) অথবা \( \sin x \, dx = -du \)।

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \cos 0 = 1 \)।

যখন \( x = \pi/2 \), তখন \( u = \cos (\pi/2) = 0 \)।

অতএব, \( \int_{0}^{\pi/2} \sin x (1 - \cos^2 x) \, dx = \int_{1}^{0} (1 - u^2) (-du) = \int_{0}^{1} (1 - u^2) \, du \)

\(= \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 - \frac{0}{3} \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

সুতরাং, \( \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \, dx = \frac{2}{3} \) 🥳