int_0^(pi/4) cos^2(2x )dx  এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\int_0^{\pi/4} \cos^2(2x) \, dx\) প্রথমে, \(\cos^2(2x)\) এর জন্য পরিচিত ট্রিগোনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করব: \[ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \] অতএব, \[ \cos^2(2x) = \frac{1 + \cos 4x}{2} \] তাই, \[ \int_0^{\pi/4} \cos^2(2x) \, dx = \int_0^{\pi/4} \frac{1 + \cos 4x}{2} \, dx \] এখন, ইন্টিগ্রালটি দুটি ভাগে বিভক্ত করব: \[ = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \cos 4x \, dx \] প্রথম ইন্টিগ্রাল: \[ \int_0^{\pi/4} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4} \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল: \[ \int_0^{\pi/4} \cos 4x \, dx = \left[ \frac{\sin 4x}{4} \right]_0^{\pi/4} \] যেখানে, \[ \sin 4x \big|_{x=\pi/4} = \sin (4 \times \frac{\pi}{4}) = \sin \pi = 0 \] \[ \sin 4x \big|_{x=0} = \sin 0 = 0 \] অতএব, \[ \int_0^{\pi/4} \cos 4x \, dx = \frac{1}{4} (0 - 0) = 0 \] সব মিলিয়ে, \[ \int_0^{\pi/4} \cos^2(2x) \, dx = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \times 0 = \frac{\pi}{8} \] **অতএব, এর মান হলো:** \[ \boxed{\frac{\pi}{8}} \]