int_0^(π/2)cos^2xdx= কত?

সমাধান:

আমরা ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করছি:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \]

প্রথমে, আমরা \(\cos^2 x\) এর জন্য পরিচিত ট্রিগোনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করব:

\[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \]

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx \]

এখন, সাধারণ ইন্টিগ্রাল সমাধান করি:

\[ = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx \]

প্রথম ইন্টিগ্রাল:

\[ \frac{1}{2} \times \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \]

দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল:

\[ \frac{1}{2} \times \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{\sin \pi - \sin 0}{2} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{0 - 0}{2} = 0 \]

অতএব, সম্পূর্ণ সমাধান হল:

\[ \frac{\pi}{4} + 0 = \boxed{\frac{\pi}{4}} \]

উত্তর:

\(\boxed{\frac{\pi}{4}}\)