int_0^(pi/2)cos^3xdx এর মান কত?

আমরা \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx \) এর মান নির্ণয় করব।

আমরা জানি, \( \cos^3 x = \cos^2 x \cdot \cos x = (1 - \sin^2 x) \cos x \).

সুতরাং, \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^2 x) \cos x \, dx \).

ধরি, \( u = \sin x \). তাহলে, \( du = \cos x \, dx \).

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = \sin 0 = 0 \). এবং যখন \( x = \frac{\pi}{2} \), তখন \( u = \sin \frac{\pi}{2} = 1 \).

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি \( \int_0^1 (1 - u^2) \, du \) তে পরিণত হয়।

\( \int_0^1 (1 - u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 0 - \frac{0^3}{3} \right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).

অতএব, \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 x \, dx = \frac{2}{3} \). 🎉