int _0^(π/2) cos^2xdx= কত ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx = \text{কত?}\) উত্তর: \(\frac{\pi}{4}\) সমাধান: প্রথমে, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \, dx \] আমরা \(\cos^2 x\) এর জন্য ট্রিগোনোমেট্রিক আইডেনটিটি ব্যবহার করব: \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \] অতএব, \[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx \] এখন, এই ইন্টিগ্রালকে আলাদা করে লিখি: \[ I = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) \, dx \] এখন, ইন্টিগ্রাল দুটি আলাদাভাবে নেওয়া যায়: \[ I = \frac{1}{2} \left( \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx \right) \] প্রথম ইন্টিগ্রাল: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} \] দ্বিতীয় ইন্টিগ্রাল: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \] এখানে, \[ \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin (\pi)}{2} - \frac{\sin 0}{2} = \frac{0}{2} - 0 = 0 \] অতএব, \[ I = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) = \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} \] অতএব, উত্তর হলো: \[ \boxed{\frac{\pi}{4}} \]