intsin^(2)4xdx=?

প্রশ্ন: \(\int \sin^2 4x\, dx = ?\)

উত্তর: \(\frac{1}{16}(8x - \sin 8x) + C\)

সমাধান:

1. প্রথমে, আমরা \(\sin^2 4x\) এর জন্য পরিচিত সূত্র ব্যবহার করব:

\( \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \)

2. এখানে, \(\theta = 4x\), তাই: \[ \sin^2 4x = \frac{1 - \cos 8x}{2} \]
3. এখন, ইনটেগ্রালটি রূপান্তর করি: \[ \int \sin^2 4x\, dx = \int \frac{1 - \cos 8x}{2}\, dx \] \[ = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 8x)\, dx \]
4. প্রতিটি উপাদানের জন্য আলাদা আলাদা ইনটেগ্রাল করি: \[ = \frac{1}{2} \left( \int 1\, dx - \int \cos 8x\, dx \right) \]
5. প্রথমটি: \[ \int 1\, dx = x \]
6. দ্বিতীয়টি: \[ \int \cos 8x\, dx = \frac{\sin 8x}{8} \] কারণ, \(\int \cos kx\, dx = \frac{\sin kx}{k}\)
7. অতএব, সমাধান: \[ \frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin 8x}{8} \right) + C \]
8. সরলীকরণ করে: \[ \frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \sin 8x + C \]
9. অতএব, মূল ইনটেগ্রাল: \[ \int \sin^2 4x\, dx = \frac{1}{2} x - \frac{1}{16} \sin 8x + C \]
10. অথবা, লিখতে পারি: \[ \boxed{\frac{1}{16}(8x - \sin 8x) + C} \]