একটি কণা v বেগে নিক্ষিপ্ত হলে যদি তার আনুভূমিক পাল্লা লব্ধ বৃহত্তর উচ্চতার দ্বিগুণ হয়, তবে তার আনুভূমিক পাল্লা কত?

প্রশ্ন:

একটি কণা \(v\) বেগে নিক্ষিপ্ত হলে যদি তার আনুভূমিক পাল্লা লব্ধ বৃহত্তর উচ্চতার দ্বিগুণ হয়, তবে তার আনুভূমিক পাল্লা কত?

সমাধান:

ধরি, নিক্ষেপণ কোণ \(\theta\)।

আমরা জানি, আনুভূমিক পাল্লা \(R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g}\)

এবং, বৃহত্তম উচ্চতা \(H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}\)

প্রশ্নানুসারে, \(R = 2H\)

অতএব, \(\frac{v^2 \sin 2\theta}{g} = 2 \times \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}\)

\(\Rightarrow \frac{v^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{g}\)

\(\Rightarrow 2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta\)

\(\Rightarrow 2 \cos \theta = \sin \theta\)

\(\Rightarrow \tan \theta = 2\)

আমরা জানি, \(\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta\)

\(\Rightarrow \sec^2 \theta = 1 + 2^2 = 5\)

\(\Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{5}\)

তাহলে, \(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\)

সুতরাং, \(R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{v^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{2v^2 \sin \theta \cos \theta}{g}\)

\(= \frac{2v^2}{g} \times \sqrt{\frac{4}{5}} \times \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{2v^2}{g} \times \frac{2}{5} = \frac{4v^2}{5g}\)

অতএব, আনুভূমিক পাল্লা \(\frac{4v^2}{5g}\) ।

উত্তর: \(\frac{4v^2}{5g}\) 🎉