সরল পথে একটি কণা v_o(1-e^-kt) গতিতে চলমান। t সময়ে কণাটির সরণ কত?

Explanation:

Another Explanation (5): দেয়া আছে, সরল পথে চলমান একটি কণার গতি \(v = v_o(1-e^{-kt})\)। 🤔 আমরা জানি, \(v = \frac{ds}{dt}\), যেখানে \(s\) হলো সরণ। সুতরাং, \(ds = v dt\) এখন, \(ds = v_o(1-e^{-kt}) dt\) উভয় পক্ষে সমাকলন করে পাই, \(\int ds = \int v_o(1-e^{-kt}) dt\) \(\implies s = v_o \int (1-e^{-kt}) dt\) \(\implies s = v_o \left[ \int dt - \int e^{-kt} dt \right]\) \(\implies s = v_o \left[ t - \frac{e^{-kt}}{-k} \right] + C\) , যেখানে C হলো সমাকলন ধ্রুবক। \(\implies s = v_o \left[ t + \frac{e^{-kt}}{k} \right] + C\) ধরি, \(t=0\) সময়ে \(s=0\) (অর্থাৎ কণাটি মূলবিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করেছে)। তাহলে, \(0 = v_o \left[ 0 + \frac{e^{0}}{k} \right] + C\) \(\implies 0 = v_o \left[ \frac{1}{k} \right] + C\) \(\implies C = -\frac{v_o}{k}\) সুতরাং, \(s = v_o \left[ t + \frac{e^{-kt}}{k} \right] -\frac{v_o}{k}\) \(\implies s = v_o t + \frac{v_o e^{-kt}}{k} -\frac{v_o}{k}\) \(\implies s = v_o t + \frac{v_o}{k} (e^{-kt} - 1)\) 😍 অতএব, \(t\) সময়ে কণাটির সরণ \(s = v_o t + \frac{v_o}{k} (e^{-kt} - 1)\) 🥳