(-4, 3) বিন্দুতে x² - y² = 7 বক্ররেখার ঢাল কত?

প্রশ্ন: (-4, 3) বিন্দুতে \(x^2 - y^2 = 7\) বক্ররেখার ঢাল কত?

উত্তর: \(-\frac{4}{3}\)

সমাধান:

প্রথমে, দিয়া বক্ররেখার সমীকরণ:

\[ x^2 - y^2 = 7 \]

অন্যভাবে লিখলে:

\[ y^2 = x^2 - 7 \]

প্রতিষ্ঠান করি:

\[ y = \pm \sqrt{x^2 - 7} \]

প্রতিটি অংশের জন্য ডেরিভেটিভ নিচে দেওয়া হলো:

ধরা যাক \( y = \pm \sqrt{x^2 - 7} \)

তাহলে, ডেরিভেটিভ:

\[ \frac{dy}{dx} = \pm \frac{1}{2} (x^2 - 7)^{-\frac{1}{2}} \times 2x = \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 - 7}} \]

এখন, বিন্দু \((-4, 3)\) এ ঢাল নির্ণয় করতে, ডেরিভেটিভে \(x = -4\) এবং \(y=3\) বসানো হবে।

তবে, প্রথমে দেখা যাক, এই বিন্দুটি কি বক্ররেখার অংশ?

বিন্দু \((-4, 3)\) জন্য সমীকরণে বসানো:

\[ y^2 = x^2 - 7 \]

\[ 3^2 = (-4)^2 - 7 \]

\[ 9 = 16 - 7 \]

\[ 9 = 9 \]

এখন, ঢাল নির্ণয় করি:

\[ \frac{dy}{dx} = \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 - 7}} \]

একইভাবে, \(x = -4\) বসিয়ে পাই:

\[ \frac{dy}{dx} = \pm \frac{-4}{\sqrt{(-4)^2 - 7}} = \pm \frac{-4}{\sqrt{16 - 7}} = \pm \frac{-4}{\sqrt{9}} = \pm \frac{-4}{3} \]