একই উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট সমবৃত্ত-ভূমিক একটি কোণক ও একটি অর্ধ গোলকের আয়তনের অনুপাত কত?

প্রথমে, সমবৃত্ত-ভূমিকের (cylinder) ও অর্ধ গোলকের (hemisphere) আয়তন নির্ণয় করি।

সমবৃত্ত-ভূমিকের আয়তন:

যদি উচ্চতা \(h\) ও ব্যাসার্ধ \(r\) হয়, তবে আয়তন:

\(V_{cylinder} = \pi r^2 h\)

অর্ধ গোলকের আয়তন:

অর্ধ গোলকের আয়তন:

\(V_{hemisphere} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3\)

প্রশ্নে বলা হয়েছে, সমবৃত্ত-ভূমিকের উচ্চতা ও ব্যাসার্ধ একই, অর্থাৎ \(h = 2r\)।

অতএব, সমবৃত্ত-ভূমিকের আয়তন:

\(V_{cylinder} = \pi r^2 (2r) = 2 \pi r^3\)

আয়তনের অনুপাত:

\( \frac{V_{cylinder}}{V_{hemisphere}} = \frac{2 \pi r^3}{\frac{2}{3} \pi r^3} = \frac{2 \pi r^3 \times 3}{2 \pi r^3} = 3\)

তাই, আয়তনের অনুপাত:

উত্তর: 2:3