Z = P + iQ একটি জটিল সংখ্যা হলে-

1.  Z- barz একটি কাল্পনিক সংখ্যা
   
2. Z. barz  একটি বাস্তব সংখ্যা
3. Z^1/n  একটি জটিল সংখ্যা যেখানে n

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্নের উপস্থাপিত জটিল সংখ্যা \( Z = P + iQ \) এর ক্ষেত্রে নিচের বিবৃতিগুলোর সত্যতা যাচাই করব: --- **প্রথম বিবৃতি:** **(i) \( Z - \overline{Z} \) একটি কাল্পনিক সংখ্যা।** **সমাধান:** \(\overline{Z} = P - iQ\) তাই, \( Z - \overline{Z} = (P + iQ) - (P - iQ) = P + iQ - P + iQ = 2iQ \) এখানে, \(2iQ\) একটি কাল্পনিক সংখ্যা, কারণ এটি কেবল \(i\) গুণিত। অর্থাৎ, **বিবৃতি (i) সত্য।** --- **দ্বিতীয় বিবৃতি:** **(ii) \( Z \cdot \overline{Z} \) একটি বাস্তব সংখ্যা।** **সমাধান:** \[ Z \cdot \overline{Z} = (P + iQ)(P - iQ) = P^2 - (iQ)^2 = P^2 - i^2 Q^2 \] এখানে, \(i^2 = -1\), তাই: \[ Z \cdot \overline{Z} = P^2 - (-1) Q^2 = P^2 + Q^2 \] উপসংহারে, এটি একটি বাস্তব সংখ্যা, কারণ এটি হলো \(P^2 + Q^2\), যা সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে। অর্থাৎ, **বিবৃতি (ii) সত্য।** --- **তৃতীয় বিবৃতি:** **(iii) \( Z^{1/n} \) একটি জটিল সংখ্যা যেখানে \( n \) একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।** **বিশ্লেষণ:** যেকোনো জটিল সংখ্যার \(n\)-তম মূল (nth root) সাধারণত \(n\)-টি মূলের সমন্বয়ে গঠিত হয় এবং এটি জটিল হতে পারে। বিশেষত, \( Z \neq 0 \) হলে, \( Z^{1/n} \) সাধারণত \(n\)টি মূলের একটি হতে পারে, যার অর্থ এটি একটি জটিল সংখ্যা। এছাড়া, যদি \( Z \neq 0 \), তবে \( Z^{1/n} \) অবশ্যই জটিল বা বাস্তব হতে পারে, তবে সর্বোচ্চ সাধারণত এটি জটিলই থাকে। নোট: \( Z^{1/n} \) এর জন্য মূলত বিভিন্ন শাখার (branch) থাকতে পারে, তবে সাধারণভাবে, এটি একটি জটিল সংখ্যা। অতএব, **বিবৃতি (iii) সত্য।** --- **সারসংক্ষেপ:** সব তিনটি বিবৃতি সত্য। **উত্তর:** **i, ii ও iii**