\( \alpha \) এর মান কত হলে \( x^3+x^2+x+\alpha \) রাশিটি \( x+2 \) দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য হবে?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \alpha \) এর মান কত হলে \( x^3 + x^2 + x + \alpha \) রাশিটি \( x + 2 \) দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য হবে? উত্তর: 6 সমাধান: প্রথমে, মনে করুন যে, পলিনোমিয়াল \( P(x) = x^3 + x^2 + x + \alpha \)। যদি এই পলিনোমিয়াল \( x + 2 \) দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে এর অর্থ হল যে, \( P(-2) = 0 \) হবে। কারণ, যদি \( x + 2 \) পলিনোমিয়ালটির মূল হয়, তাহলে \( P \) এর মূল হল \( x = -2 \)। অতএব, \[ P(-2) = (-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + \alpha = 0 \] গণনা করি: \[ (-2)^3 = -8 \] \[ (-2)^2 = 4 \] \[ -2 = -2 \] সুতরাং, \[ -8 + 4 - 2 + \alpha = 0 \] সমাধান করি: \[ (-8 + 4 - 2) + \alpha = 0 \] \[ (-8 + 4) - 2 + \alpha = 0 \] \[ -4 - 2 + \alpha = 0 \] \[ -6 + \alpha = 0 \] \[ \alpha = 6 \] অতএব, \( \alpha \) এর মান হলে, \( P(x) \) \( x + 2 \) দ্বারা নিঃশেষ বিভাজ্য হবে। **উত্তর:** \(\boxed{6}\)