2x + by + 4 =0, 4x - y - 2b = 0, 3x + y -1 =0, রেখা তিনটি সমবিন্দু হলে, b এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: যদি তিনটি সরলরেখা সমবিন্দু হয়, তবে তাদের দ্বারা গঠিত নির্ণায়কের মান শূন্য হবে। সরলরেখা তিনটি হলো: \( \begin{aligned} &2x + by + 4 = 0 \\ &4x - y - 2b = 0 \\ &3x + y - 1 = 0 \end{aligned} \) এই সরলরেখা তিনটি সমবিন্দু হওয়ার শর্ত: \( \begin{vmatrix} 2 & b & 4 \\ 4 & -1 & -2b \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0 \) নির্ণায়কের মান বের করি: \( \begin{aligned} &2\begin{vmatrix} -1 & -2b \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - b\begin{vmatrix} 4 & -2b \\ 3 & -1 \end{vmatrix} + 4\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \\ &\Rightarrow 2[(-1)(-1) - (-2b)(1)] - b[(4)(-1) - (-2b)(3)] + 4[(4)(1) - (-1)(3)] = 0 \\ &\Rightarrow 2(1 + 2b) - b(-4 + 6b) + 4(4 + 3) = 0 \\ &\Rightarrow 2 + 4b + 4b - 6b^2 + 28 = 0 \\ &\Rightarrow -6b^2 + 8b + 30 = 0 \\ &\Rightarrow 6b^2 - 8b - 30 = 0 \\ &\Rightarrow 3b^2 - 4b - 15 = 0 \end{aligned} \) এখন, দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করি: \( 3b^2 - 4b - 15 = 0 \) \( \begin{aligned} b &= \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(-15)}}{2(3)} \\ &= \frac{4 \pm \sqrt{16 + 180}}{6} \\ &= \frac{4 \pm \sqrt{196}}{6} \\ &= \frac{4 \pm 14}{6} \end{aligned} \) সুতরাং, \( b_1 = \frac{4 + 14}{6} = \frac{18}{6} = 3 \) এবং \( b_2 = \frac{4 - 14}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \) অতএব, \( b \) এর মান \( 3 \) অথবা \( -\frac{5}{3} \)। 🎉🎉 b এর মান: \( 3, -\frac{5}{3} \)