2tan²x + sec²x = 3+tanx হলে, 

0≤x≤π/2

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 2 \tan^{2} x + \sec^{2} x = 3 + \tan x \) হলে, \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) এর মধ্যে সমাধান করো। সমাধান: প্রথমে, প্রদত্ত সমীকরণটি লিখি: \[ 2 \tan^{2} x + \sec^{2} x = 3 + \tan x \] এবং, জানি যে: \[ \sec^{2} x = 1 + \tan^{2} x \] সুতরাং, সমীকরণে \(\sec^{2} x\) এর বদলে \(1 + \tan^{2} x\) বসাই: \[ 2 \tan^{2} x + 1 + \tan^{2} x = 3 + \tan x \] অর্থাৎ, \[ (2 \tan^{2} x + \tan^{2} x) + 1 = 3 + \tan x \] অথবা, \[ 3 \tan^{2} x + 1 = 3 + \tan x \] এখন, সবগুলো পদের জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করি: \[ 3 \tan^{2} x - \tan x + (1 - 3) = 0 \] \[ 3 \tan^{2} x - \tan x - 2 = 0 \] এখন, ধরি \( t = \tan x \): \[ 3 t^{2} - t - 2 = 0 \] এটি একটি দ্বৈতরৈখিক সমীকরণ। সমাধান করি: \[ t = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 3 \times (-2)}}{2 \times 3} \] \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6} \] \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{6} \] \[ t = \frac{1 \pm 5}{6} \] অর্থাৎ, \[ t = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] অথবা, \[ t = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \] এখন, \( t = \tan x \), তাই: \[ \tan x = 1 \quad \text{or} \quad \tan x = -\frac{2}{3} \] প্রদানকৃত সীমা হলো \( 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \)। অবশ্য, এই সীমার মধ্যে \(\tan x\) এর মান ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে। - যখন \(\tan x = 1\), তখন: \[ x = \frac{\pi}{4} \] (কারণ, \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\))। - যখন \(\tan x = -\frac{2}{3}\), তখন: এটি এই সীমার মধ্যে নয় কারণ \(\tan x\) এর মান এই সীমায় নেগেটিভ নয় (যেহেতু \(x\) এর মান \(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\) মধ্যে, যেখানে \(\tan x \geq 0\))। অতএব, একমাত্র সমাধান হলো: \[ x = \frac{\pi}{4} \] উপসংহার: \[ \boxed{ x = \frac{\pi}{4} } \]