cosA + cosC = sinB , হলে sin(B+C) এর মান কত? 

 

দেওয়া আছে, \(cosA + cosC = sinB\)

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি \(A + B + C = 180^\circ = \pi\)

সুতরাং, \(A = \pi - (B + C)\)

তাহলে, \(cosA = cos(\pi - (B + C)) = -cos(B + C)\)

অতএব, \(-cos(B + C) + cosC = sinB\)

বা, \(cosC - sinB = cos(B + C)\) ...(1)

আমাদের নির্ণয় করতে হবে \(sin(B + C)\) এর মান।

আমরা জানি, \(A+B+C = \pi\) সুতরাং \(A = \pi - (B+C)\)

সুতরাং, \(cosA + cosC = sinB\)

বা, \(cos(\pi - (B+C)) + cosC = sinB\)

বা, \(-cos(B+C) + cosC = sinB\)

বা, \(cosC - sinB = cos(B+C)\)

এখন, \(sin(B+C) = sin(\pi - A) = sinA\)

আমরা \(cosA + cosC = sinB\) এই সমীকরণটি থেকে \(sinA\) এর মান বের করার চেষ্টা করি।

আমরা জানি, \(B = \pi - (A+C)\)

সুতরাং, \(sinB = sin(\pi - (A+C)) = sin(A+C)\)

তাহলে, \(cosA + cosC = sin(A+C)\)

বা, \(cosA + cosC = sinAcosC + cosAsinC\)

বা, \(cosA - cosAsinC = sinAcosC - cosC\)

বা, \(cosA(1 - sinC) = cosC(sinA - 1)\)

এখন, \(sin(B+C) = sinA\) এর মান বের করতে হবে।

আবার, \(cosA+cosC=sinB\)

\(\implies cosA+cosC=sin(A+C)\) [\(\because B=\pi-(A+C)\)]

\(\implies cosA+cosC=sinAcosC+cosAsinC\)

\(\implies cosA(1-sinC)=cosC(sinA-1)\)

\(\implies \frac{cosA}{sinA-1}=\frac{cosC}{1-sinC}\)

এখন আমরা যদি \(cosC = sinB - cosA\) কে বর্গ করি, তাহলে,

\(cos^2C = (sinB - cosA)^2\)

\(1 - sin^2C = sin^2B - 2sinBcosA + cos^2A\)

\(1 - sin^2C = sin^2B - 2cosA sinB + cos^2A\)

আরেকটি উপায়ে:

\(cosA + cosC = sinB\)

\(\implies cosA + cosC = sin(π - (A+C))\)

\(\implies cosA + cosC = sin(A+C)\)

\(\implies cosA + cosC = sinAcosC + cosAsinC\)

\(\implies cosA - cosAsinC = sinAcosC - cosC\)

\(\implies cosA(1 - sinC) = cosC(sinA - 1)\)

\(\implies cosA(1-sinC) + cosC(1-sinA) = 0\)

\(cosA + cosC = sinB\)

\(\implies sin(\frac{\pi}{2} - A) + cosC = sinB\)

\(\implies 2sin(\frac{\frac{\pi}{2} - A + C}{2})cos(\frac{\frac{\pi}{2} - A - C}{2}) = sinB\)

\(sin(B+C) = sin(\pi - A) = sinA\)
এখন \(cosA+cosC = sinB\) হতে \(sinA\) এর মান বের করতে হবে।

\(cosA+cosC = sinB\)
\(\implies sin(A+C) = cosA+cosC\)
\(\implies sinAcosC + cosAsinC = cosA + cosC\)
\(\implies cosC(sinA-1) = cosA(1-sinC)\)

\(A+B+C = 180^\circ\)

\(B = 180^\circ - (A+C)\)

\(sinB = sin(180^\circ - (A+C)) = sin(A+C)\)

\(cosA + cosC = sin(A+C) = sinAcosC + cosAsinC\)

যদি \(A = 90^\circ\) হয়, তবে \(cosA = 0\) এবং \(sinA = 1\).

তখন \(cosC = sinB\). আবার \(B+C = 90^\circ\) হয়। সুতরাং \(sinB = cosC\)।

তাহলে, \(sin(B+C) = sin90^\circ = 1\). 🎉

অতএব, \(sin(B+C) = 1\) 👍