- π ≤ x ≤ π ব্যবধিতে sin x = -1/2 সমীকরণের সমাধান-
উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্রবিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোনমিতিক সমীকরনত্রিকোণোমিতিক ফাংশনের সাধারণ সমাধান (Topic Practice)
সঠিক উত্তরঃ
A.
-π/6, -(5π)/6
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(-\pi \leq x \leq \pi\) ব্যবধিতে \(\sin x = -\frac{1}{2}\) সমীকরণের সমাধান।
উত্তর:
সমাধানের জন্য, প্রথমে আমরা জানি যে, \(\sin x = -\frac{1}{2}\) এর সাধারণ সমাধান হলো:
\[
x = \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2k\pi \quad \text{বা} \quad x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2k\pi
\]
এবং, \(\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}\)
সুতরাং, সাধারণ সমাধান:
\[
x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{অথবা} \quad x = \pi - \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \pi + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi
\]
এখন, প্রদত্ত সীমাবদ্ধতায়:
\[
-\pi \leq x \leq \pi
\]
অর্থাৎ, \(k=0\) এর জন্য সম্ভাব্য সমাধানগুলি হল:
1. \(x = -\frac{\pi}{6}\)
2. \(x = \frac{7\pi}{6}\)
কিন্তু, \(\frac{7\pi}{6} \approx 3.67\), যা \(x \leq \pi\) এর মধ্যে নয়। তাই, এই সমাধান অমীমাংসা।
দ্বিতীয় সমাধানের জন্য, \(x = \frac{7\pi}{6}\), কিন্তু এটি সীমার বাইরে। অতএব, \(k=0\) এর জন্য শুধুমাত্র একটি সমাধান:
\[
x = -\frac{\pi}{6}
\]
পরবর্তী সমাধান গুলি, \(k \neq 0\), দেখুন:
- \(k= -1\):
\[
x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{13\pi}{6}
\]
যা সীমার বাইরে (\(-\pi \approx -3.14\), \(-\frac{13\pi}{6} \approx -6.80\))।
- \(k=1\):
\[
x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = -\frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \approx 5.76
\]
যা সীমার বাইরে (\(5.76 > \pi\))।
অতএব, সীমার মধ্যে থাকা সমাধান:
\[
x = -\frac{\pi}{6}
\]
অতএব, এর পরিপূরক সমাধান হিসেবে, যেহেতু \(\sin x = -\frac{1}{2}\) এর অন্যান্য সমাধানগুলো \(x = -\frac{5\pi}{6}\) (যা \(\sin x = -\frac{1}{2}\) এর মূল সমাধান), তাহলে:
\[
x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = -\frac{5\pi}{6}
\]
সুতরাং, শেষ সমাধান হল:
\boxed{
x = -\frac{\pi}{6}, \quad x = -\frac{5\pi}{6}
}