cosθ + sinθ = √2 হলে θ = কত?

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ:

\[ \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \]

আমরা জানি:

\[ \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \right) \]

অর্থাৎ:

\[ \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \cos \theta + \sin \frac{\pi}{4} \sin \theta \right) \]

এখানে, আমরা ব্যবহার করবো ট্রিগনোমেট্রিক সমীকরণের সংযোজন সূত্র:

\[ \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A - B) \]

অতএব:

\[ \cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) \]

সুতরাং, সমীকরণটি হয়ে যায়:

\[ \sqrt{2} \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \]

দুটি পক্ষের বিভাজন \(\sqrt{2}\) দ্বারা করলে:

\[ \cos \left( \theta - \frac{\pi}{4} \right) = 1 \]

এখানে, \(\cos x = 1\) হয় যখন:

\[ x = 2n\pi \quad \text{(যেখানে, \(n\) হলো সম্পূর্ণ পূর্ণসংখ্যা)} \]

অতএব:

\[ \theta - \frac{\pi}{4} = 2n\pi \]

অতএব:

\[ \boxed{\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{4}} \]

উত্তর:

\(\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{4}\)