\( \csc x + \cot x = \sqrt{3} \) হলে \( x \) এর মান নির্ণয় করো।
প্রদত্ত সমীকরণ: \( \csc x + \cot x = \sqrt{3} \)
প্রথমে, \(\csc x\) এবং \(\cot x\) এর মান ব্যাখ্যা করি:
- \(\csc x = \frac{1}{\sin x}\)
- \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)
অতএব, সমীকরণটি লিখতে পারি:
\[ \frac{1}{\sin x} + \frac{\cos x}{\sin x} = \sqrt{3} \]এখানে, সাধারণ হার: \(\frac{1 + \cos x}{\sin x} = \sqrt{3}\)
এছাড়া, এই সমীকরণটি লিখতে পারি:
\[ \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \sqrt{3} \]এখন, উভয় পাশে \(\sin x\) দিয়ে গুণ করি:
\[ 1 + \cos x = \sqrt{3} \sin x \]এখন, এই সমীকরণের দ্বারা, আমরা মনে করি:
\[ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 1 \]এই সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণের মতো, যেখানে আমরা \(\sin x\) ও \(\cos x\) এর সাথে কাজ করছি।
তাই, আমরা এটি একটি সাধারন রূপে লিখতে পারি:
\[ A \sin x + B \cos x = C \] যেখানে \(A = \sqrt{3}\), \(B = -1\), এবং \(C = 1\)।এখন, এই ধরনের সমীকরণের সমাধান জন্য আমরা একভাবে লিখতে পারি:
\[ R \sin (x + \alpha) = C \]যেখানে, \(R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\)
\(\alpha\) এর মান নির্ণয় করতে, আমরা জানি:
\[ \sin \alpha = \frac{B}{R} = \frac{-1}{2} \] \[ \cos \alpha = \frac{A}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]অর্থাৎ, \(\alpha\) এর মান হলো:
\[ \alpha = \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} \] (অথবা, \(\alpha = 11\pi/6\), কারণ \(\sin \alpha = -1/2\) হয় \(\alpha = 7\pi/6\) বা \(11\pi/6\)। তবে, সহজতরভাবে, \(\alpha = -\pi/6\) গ্রহণ করা যায়।)সুতরাং, সমীকরণটি হয়ে যায়:
\[ 2 \sin (x + \alpha) = 1 \] অর্থাৎ, \[ \sin (x + \alpha) = \frac{1}{2} \]সাধারণ সমাধান হলো:
\[ x + \alpha = n\pi + \frac{\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z} \]অতএব, \(x\) এর মান হল:
\[ x = n\pi + \frac{\pi}{6} - \alpha \]যেহেতু, \(\alpha = -\frac{\pi}{6}\), তাই:
\[ x = n\pi + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = n\pi + \frac{\pi}{3} \]অর্থাৎ, সমাধান হলো:
\[ \boxed{x = n\pi + \frac{\pi}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}} \]বিশেষত, যখন \(n\) পূর্ণসংখ্যা, তখন \(x\) এর মান হবে:
\[ x = 2n\pi + \frac{\pi}{3} \] (কারণ, \(n\) কে পরিবর্তন করলে, সমাধান সমূহের পুনঃপ্রাপ্তি হয়।)