sinɑ=cosɑ হলে, নিচের কোনটি ɑ এর মান?

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী,

\( \sin \alpha = \cos \alpha \)

এখন, আমরা জানি যে,

\( \sin \alpha = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \)

তাই, উপরের সমীকরণ অনুযায়ী,

\( \sin \alpha = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \)

এবং, এর মানে হলো, দুইটি ইনপুটের জন্য, \(\sin\) এর মান সমান হলে, তাদের মান অথবা সমান, অথবা, তারা \(\ \pi -\) এর সমান হয়।

অর্থাৎ,

অথবা:

• \( \alpha = \frac{\pi}{2} - \alpha + 2k\pi \)
• অথবা:
• \( \alpha = \pi - \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) + 2k\pi \)

প্রথম সমীকরণ থেকে,

\( 2 \alpha = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)

অতএব,

\( \alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi \)

দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে,

\( \alpha = \pi - \frac{\pi}{2} + \alpha + 2k\pi \)

অর্থাৎ:

\( 0 = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \)

যা সম্ভব নয়, কারণ এটি সত্য নয়।

সুতরাং, মূল সমাধান হলো:

\( \alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi \)

প্রশ্নে দেওয়া উত্তর হলো \( \frac{5\pi}{3} \)। এখন, এটি আমাদের পরীক্ষা করতে হবে যে, এটি এই সমাধানের মধ্যে কি না।

অর্থাৎ, কি:

\( \alpha = \frac{5\pi}{3} \)

প্রতিটি \(k\) এর জন্য পরীক্ষা করলে, দেখা যাবে:

প্রথম সমাধান অনুযায়ী,

\( \alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi \)

যদি, \(k=1\), তবে:

\( \alpha = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \neq \frac{5\pi}{3} \)

অর্থাৎ, এটি সরাসরি সমাধান নয়।

তবে, আমরা অন্যভাবে সমাধান করতে পারি।

অতএব, মূল সমীকরণটি হলো:

\( \sin \alpha = \cos \alpha \)

এবং, আমরা জানি যে,

\( \sin \alpha = \cos \alpha \Rightarrow \tan \alpha = 1 \)

তাই,

\( \alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi \), যেখানে \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা।

এখন, যদি \( \alpha = \frac{5\pi}{3} \) হয়, তাহলে দেখা যাক এর সাথে কি হয়।

অর্থাৎ, কি:

\( \tan \frac{5\pi}{3} \)

গুণে,

\( \tan \frac{5\pi}{3} = \tan \left( 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) = - \tan \frac{\pi}{3} = - \sqrt{3} \neq 1 \)

অর্থাৎ, এই মানটি সমীকরণের জন্য উপযুক্ত নয়।

তবে, মূল সমাধান অনুযায়ী, যখন \(\sin \alpha = \cos \alpha\), তখন \(\alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi\) হয়।

প্রশ্নে দেওয়া উত্তর হলো: \( \frac{5\pi}{3} \)।

তাহলে, এই মানটি কি এই সমাধানের মধ্যে পড়ে কি না, সেটি পরীক্ষা করি।

যদি \(\alpha = \frac{5\pi}{3}\), তাহলে,

\( \sin \frac{5\pi}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} \)

এবং,

\( \cos \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} \)

অর্থাৎ, \(\sin \alpha \neq \cos \alpha\)।

তাহলে, এই মান সরাসরি সমীকরণ পূরণ করে না।

তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ্য, \(\alpha = \frac{5\pi}{3}\) সম্ভবত অন্য কোন প্রেক্ষাপটে বা বিশেষ ক্ষেত্রে উপযুক্ত।

সাধারণভাবে, \(\sin \alpha = \cos \alpha\) হলে, \(\alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi\) হয়।

অতএব, মূল সমাধান হলো: \(\boxed{\alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi}\)।

উপসংহার:

প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তরটি সম্ভবত নির্দিষ্ট সেট বা পরিস্থিতির উপর ভিত্তি করে। তবে, সাধারণ গণনায়, \(\sin \alpha = \cos \alpha\) হলে, \(\alpha = \frac{\pi}{4} + n\pi\) হয়।

তাই, উত্তর হিসেবে:

অর্থাৎ, \(\alpha = \frac{5\pi}{3}\) মানটি এই সমীকরণের জন্য সাধারণ সমাধান নয়।