f(x)=cotx বা  f^-1 (x)    বিপরীতযোগ্য হলে   f^-1 (x)   এর রেঞ্জ কত?

প্রশ্নের সমাধান

উত্তর: \((0, \pi)\)

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের জানতে হবে \(f(x) = \cot x\) এর ডোমেইন ও রেঞ্জ।

1. \(\cot x\) এর ডোমেইন:

\(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

যেহেতু \(\sin x = 0\) হলে \(\cot x\) অসংজ্ঞায়িত হয়, তাই:

\(x \neq n\pi,\) যেখানে \(n\) হলো পূর্ণসংখ্যা।

সাধারণত, \(\cot x\) কে সংজ্ঞায়িত ধরি যখন \(x \in (0, \pi)\), যেখানে \(\sin x \neq 0\)।

2. \(\cot x\) এর রেঞ্জ:

সাধারণত, \(\cot x\) এর মান ধীরে ধীরে \(-\infty\) থেকে \(\infty\) পর্যন্ত যায় যখন \(x\) \( (0, \pi)\) এর মধ্যে থাকে।

অর্থাৎ, \(\cot x\) এর রেঞ্জ হল \(\mathbb{R}\)।

3. বিপরীত ফাংশন: \(f^{-1}(x)\)

চিহ্নিত করেছি যে, \(\cot x\) এর ইনভার্স ফাংশন থাকলে, তার ডোমেইন হবে \(\mathbb{R}\) (কারণ এর রেঞ্জ), এবং রেঞ্জ হবে সেই \(x\) এর সেট যেখানে \(f^{-1}(x)\) নির্ধারিত।

যেহেতু, \(\cot x\) এর ডোমেইন হল \((0, \pi)\) এবং এর রেঞ্জ হল \(\mathbb{R}\), তাই:

• প্রথমত, \(\cot x\) এর ইনভার্স \(f^{-1}\) এর ডোমেইন হবে \(\mathbb{R}\)।
• দ্বিতীয়ত, \(f^{-1}(x)\) এর রেঞ্জ হবে \(\{x | x \text{ এর জন্য }f^{-1}(x)\) সংজ্ঞায়িত} \), অর্থাৎ, \(\{x | x \text{ এর মান } \cot y \text{ এর জন্য } y \in (0, \pi)\}\)।

4. \(f^{-1}(x)\) এর রেঞ্জ নির্ণয়

আমরা জানি, \(\cot y\) এর মান ধীরে ধীরে \(-\infty\) থেকে \(\infty\) পর্যন্ত যায় যখন \(y\) \( (0, \pi)\) এর মধ্যে থাকে।

অর্থাৎ, \(\cot y\) এর রেঞ্জ হল \(\mathbb{R}\)।

তাই, \(f^{-1}(x)\) এর রেঞ্জ হল \(\{y \in (0, \pi) | \cot y = x\}\) এর জন্য, যেখানে \(x \in \mathbb{R}\)।

5. উপসংহার

অর্থাৎ, \(f^{-1}(x)\) এর রেঞ্জ হল \((0, \pi)\)।

সারাংশ:

• যেহেতু \(f(x) = \cot x\) এর ডোমেইন \((0, \pi)\) এবং রেঞ্জ \(\mathbb{R}\),
• তাই, \(f^{-1}(x)\) এর রেঞ্জও হবে \(\boxed{(0, \pi)}\)।