\( \tan^2 \theta \cdot \tan \theta = 1 \) হলে, \( \theta = ? \)
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \( \tan^2 \theta \cdot \tan \theta = 1 \)
এখানে, প্রথমে সমীকরণটি সরল করব:
\[ \tan^2 \theta \cdot \tan \theta = \tan^3 \theta = 1 \]
অর্থাৎ,
\[ \tan^3 \theta = 1 \]
এখানে, \(\tan \theta\) এর মান হতে পারে:
\[ \tan \theta = \sqrt[3]{1} = 1 \]
অথবা, \(\tan \theta\) এর অন্য মানও হতে পারে, যদি সমীকরণে অন্য কোন শর্ত থাকে। কিন্তু এখানে, মূল সমীকরণে আছে \(\tan^3 \theta = 1\)। তাই,
সমাধান করতে গেলে, তিনটি মূল মান পাওয়া যায়:
- \(\tan \theta = 1\)
- \(\tan \theta = \omega\)
- \(\tan \theta = \omega^2\)
যেখানে, \(\omega\) হলো কিউব রুট অব ইউনিট (৩য় মূল), অর্থাৎ:
\[ \omega = e^{i 2\pi/3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \]
তবে, বাস্তব সংখ্যার জন্য, প্রধান সমাধান হলো:
\[ \tan \theta = 1 \]
অর্থাৎ,
\[ \theta = \arctan(1) + n\pi = \frac{\pi}{4} + n \pi, \quad n \in Z \]
তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে: \( \tan^2 \theta \cdot \tan \theta = 1 \)
এবং, এটি মূলত:
\[ \tan^3 \theta = 1 \]
এবং, \(\tan \theta = 1\) এর সমাধান হলো:
\[ \theta = \frac{\pi}{4} + n \pi \]
অথবা, যদি অন্য মানের জন্য বিবেচনা করি যেখানে \(\tan \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\), তবে সমাধান হবে:
প্রতিটি ক্ষেত্রে, সমাধান মূলত:
\[ \theta = \pm \frac{\pi}{6} + n \pi \]
অতএব, মূল সমাধানগুলো হলো:
\[ \boxed{ \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{6} } \quad \text{where} \quad n \in Z \]