\( \tan^2 \theta \cdot \tan \theta = 1 \) হলে, \( \theta = ? \)

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ: \( \tan^2 \theta \cdot \tan \theta = 1 \)

এখানে, প্রথমে সমীকরণটি সরল করব:

\[ \tan^2 \theta \cdot \tan \theta = \tan^3 \theta = 1 \]

অর্থাৎ,

\[ \tan^3 \theta = 1 \]

এখানে, \(\tan \theta\) এর মান হতে পারে:

\[ \tan \theta = \sqrt[3]{1} = 1 \]

অথবা, \(\tan \theta\) এর অন্য মানও হতে পারে, যদি সমীকরণে অন্য কোন শর্ত থাকে। কিন্তু এখানে, মূল সমীকরণে আছে \(\tan^3 \theta = 1\)। তাই,

সমাধান করতে গেলে, তিনটি মূল মান পাওয়া যায়:

1. \(\tan \theta = 1\)
2. \(\tan \theta = \omega\)
3. \(\tan \theta = \omega^2\)

যেখানে, \(\omega\) হলো কিউব রুট অব ইউনিট (৩য় মূল), অর্থাৎ:

\[ \omega = e^{i 2\pi/3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \]

তবে, বাস্তব সংখ্যার জন্য, প্রধান সমাধান হলো:

\[ \tan \theta = 1 \]

অর্থাৎ,

\[ \theta = \arctan(1) + n\pi = \frac{\pi}{4} + n \pi, \quad n \in Z \]

তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে: \( \tan^2 \theta \cdot \tan \theta = 1 \)

এবং, এটি মূলত:

\[ \tan^3 \theta = 1 \]

এবং, \(\tan \theta = 1\) এর সমাধান হলো:

\[ \theta = \frac{\pi}{4} + n \pi \]

অথবা, যদি অন্য মানের জন্য বিবেচনা করি যেখানে \(\tan \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\), তবে সমাধান হবে:

প্রতিটি ক্ষেত্রে, সমাধান মূলত:

\[ \theta = \pm \frac{\pi}{6} + n \pi \]

অতএব, মূল সমাধানগুলো হলো:

\[ \boxed{ \theta = n \pi \pm \frac{\pi}{6} } \quad \text{where} \quad n \in Z \]