Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া হয়েছে:
\[
\sin 2\theta = \frac{1}{2}
\]
আমরা জানি, \(\sin x = \frac{1}{2}\) এর সাধারণ সমাধান হলো:
\[
x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{বা} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad \text{যেখানে } k \in \mathbb{Z}
\]
এখানে, \(x = 2\theta\), তাই:
\[
2\theta = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{অথবা} \quad 2\theta = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi
\]
অর্থাৎ,
\[
\theta = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{অথবা} \quad \theta = \frac{5\pi}{12} + k\pi
\]
এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো একটি সাধারণ সমাধান ফর্মুলা খুঁজে পাওয়া যা পূর্ণসংখ্যা \(n\) এর উপর নির্ভরশীল।
নিচে লক্ষ করব যে, দুটি সমাধান একই রকমের ফরমুলায় লিখে আনার জন্য, আমরা সাধারণ সমাধানটি নিম্নরূপ লিখতে পারিঃ
\[
\theta = \frac{\pi}{12} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
তবে, কারণ \(\sin 2\theta\) এর সমাধানগুলো \(x\) এর জন্য \(\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) এবং \(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\), এর মাধ্যমে,
\[
\theta = \frac{x}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\theta = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi \right) = \frac{\pi}{12} + k\pi
\]
এবং
\[
\theta = \frac{1}{2} \left( \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right) = \frac{5\pi}{12} + k\pi
\]
অতএব, সাধারণ সমাধান হলো:
\[
\theta = \frac{\pi}{12} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
এখন, প্রদত্ত উত্তরটি হলো:
\[
\theta = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12}
\]
এখানে, এটি দুটি সমাধানকে একত্রে প্রকাশ করে।
তাহলে, আমাদের সমাধানটি নিচের রূপে প্রকাশ করা যায়:
\[
\boxed{
\theta = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12}
}
\]
যেখানে \(n \in \mathbb{Z}\)।
**অর্থাৎ, উপস্থাপিত উত্তরটি সঠিক।**
উপসংহার:
প্রদত্ত সমাধানটি হল:
\[
\boxed{
\theta = \frac{n\pi}{2} + (-1)^n \frac{\pi}{12}
}
\]
যেখানে \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা।
