sin2θ + cosθ = 0 এর সঠিক সমাধান কোনটি?

Another Explanation (5):

প্রদত্ত সমীকরণ:

\[ \sin^2 \theta + \cos \theta = 0 \]

\(\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta\), তাই সমীকরণটি লিখি:

\[ 1 - \cos^2 \theta + \cos \theta = 0 \]

\[ -\cos^2 \theta + \cos \theta + 1 = 0 \]

অথবা, সাধারণ রূপে:

\[ \cos^2 \theta - \cos \theta - 1 = 0 \]

অতঃ \(x^2 - x - 1 = 0\)

প্রতিপাদ্য সূত্র অনুসারে:

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} \]

\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \]

সুতরাং,

\[ \cos \theta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \quad \text{অথবা} \quad \cos \theta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \]

কোণ \(\theta\) এর জন্য \(\cos \theta\) এর মান রেঞ্জ \([-1, 1]\)

\(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\), যা মান \রেঞ্জের বাইরে। অতএব, এটি গ্রহণযোগ্য নয়।

অতএব, একমাত্র উপযুক্ত সমাধান হল:

\[ \cos \theta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618 \]

এখন, \(\cos \theta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\)

যেহেতু \(\cos \theta = x\), তবেঃ

\[\theta = \pm \arccos \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + 2n\pi\]

কোণ \(\theta\) এর জন্য সমাধান হল:

\[ \theta = \pm \arccos \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right) + 2n\pi \]

\[ \theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2} \quad \text{where} \quad n \in \mathbb{Z} \]

সঠিক সমাধান হল: \(\boxed{\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}}\)