n পূর্ণসংখ্যা হলে, cos3θ=1/2 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

প্রশ্ন: যদি \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তাহলে সমীকরণ \(\cos 3\theta = \frac{1}{2}\) এর সমাধান কী?

উত্তর: \( \theta = \frac{2}{3}n \pi \pm \frac{\pi}{9} \)

সমাধান:

আমরা জানি, \(\cos x = \frac{1}{2}\) এর সাধারণ সমাধান হলো:

\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi \), যেখানে \( k \) একটি পূর্ণসংখ্যা।

এখন, আমাদের মূল সমীকরণ হলো:

\( \cos 3\theta = \frac{1}{2} \)

অর্থাৎ,

\( 3\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2k \pi \)

এবং, \( k \) একটি পূর্ণসংখ্যা।

অতএব,

\( \theta = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2k \pi}{3} \)

যেখানে \( k \in \mathbb{Z} \)।

যেহেতু \( n \) একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং আমরা সাধারণ সমাধানটি লিখেছি \( \theta \) এর জন্য, আমরা \( k \) কে \( n \) হিসেবে লিখতে পারি।

অতএব, সমাধান হলো:

\( \boxed{\theta = \frac{2}{3} n \pi \pm \frac{\pi}{9} } \), যেখানে \( n \in \mathbb{Z} \)।