p=cosθ, q=sinθ 

p-√3q = 0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( p = \cos \theta \), \( q = \sin \theta \) এবং সমীকরণ \( p - \sqrt{3} q = 0 \) এর সাধারণ সমাধান নির্ণয় করো। সমাধান: প্রথমে দেওয়া সমীকরণটি লিখি: \[ p - \sqrt{3} q = 0 \] অর্থাৎ, \[ p = \sqrt{3} q \] এখানে, \( p = \cos \theta \) এবং \( q = \sin \theta \), তাই: \[ \cos \theta = \sqrt{3} \sin \theta \] এখন, উভয় পাশকে ভাগ করি \( \cos \theta \) দ্বারা (যদি \( \cos \theta \neq 0 \)): \[ 1 = \sqrt{3} \tan \theta \] অর্থাৎ, \[ \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \] আমরা জানি: \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \] এবং, \[ \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] প্রচলিত মান অনুযায়ী: \[ \arctan \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} \] তবে, যেহেতু ট্যানের মান দুইটি কোণ দ্বারা প্রকাশ পায়, আমাদের সাধারণ সমাধান হবে: \[ \theta = \frac{\pi}{6} + n \pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] অন্যদিকে, যদি \( \cos \theta = 0 \), তাহলে সমীকরণটি: \[ 0 - \sqrt{3} \sin \theta = 0 \] অর্থাৎ, \[ \sin \theta = 0 \] এখানে, \[ \sin \theta = 0 \implies \theta = n \pi, \quad n \in \mathbb{Z} \] কিন্তু, যখন \( \cos \theta = 0 \), তখন \( \sin \theta = \pm 1 \), যা এই সমীকরণের সাথে মেলে না কারণ: \[ p - \sqrt{3} q = 0 \implies 0 - \sqrt{3} (\pm 1) = 0 \implies - \sqrt{3} \neq 0 \] অর্থাৎ, এই সমাধানটি বৈধ নয়। অতএব, সাধারণ সমাধান হলো: \[ \boxed{\theta = n \pi + \frac{\pi}{6}, \quad n \in \mathbb{Z}} \]