\( 2\cos^2\theta + 2\sqrt{2}\sin\theta = 3 \) হলে \( \theta \) এর মান কোনটি?

সমাধান:

প্রশ্ন: \( 2\cos^2 \theta + 2\sqrt{2}\sin \theta = 3 \)

প্রথমে, আমরা জানতে চাই \(\cos^2 \theta\) এর মান।

ব্যবহার করি, \(\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta\)। তাহলে সমীকরণ হবে:

\[ 2(1 - \sin^2 \theta) + 2\sqrt{2} \sin \theta = 3 \]

বিস্তৃত করি:

\[ 2 - 2 \sin^2 \theta + 2 \sqrt{2} \sin \theta = 3 \]

এখন, সমীকরণটি সাজাই:

\[ -2 \sin^2 \theta + 2 \sqrt{2} \sin \theta + 2 = 3 \]

উপর থেকে ৩ বিয়োগ করি:

\[ -2 \sin^2 \theta + 2 \sqrt{2} \sin \theta + 2 - 3 = 0 \]

অর্থাৎ:

\[ -2 \sin^2 \theta + 2 \sqrt{2} \sin \theta - 1 = 0 \]

উভয় পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করি:

\[ 2 \sin^2 \theta - 2 \sqrt{2} \sin \theta + 1 = 0 \]

এখন, এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ:

\[ 2 \sin^2 \theta - 2 \sqrt{2} \sin \theta + 1 = 0 \]

প্রতিবর্তে, ধরি \( x = \sin \theta \), তাহলে সমীকরণ হবে:

\[ 2x^2 - 2 \sqrt{2} x + 1 = 0 \]

এই দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য, ডেল্টা (\(\Delta\)) গণনা করি:

\[ \Delta = ( - 2 \sqrt{2} )^2 - 4 \times 2 \times 1 \]

\[ \Delta = 4 \times 2 - 8 = 8 - 8 = 0 \]

যেহেতু \(\Delta = 0\), সমীকরণের একমাত্র মূল রয়েছে। মূলগুলি হবে:

\[ x = \frac{ 2 \sqrt{2} }{ 2 \times 2 } = \frac{ 2 \sqrt{2} }{ 4 } = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \]

অর্থাৎ:

\[ \sin \theta = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \]

এখন, \(\sin \theta = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 }\) এর মানে হল:

\[ \theta = 45^\circ \quad \text{অথবা} \quad 135^\circ \] (কোনো কোণের জন্য)

তবে, মূল সমাধান হিসেবে, \(\theta = 45^\circ\) গ্রহণ করা যায় কারণ এটি মূল সমাধান।

উত্তর:

\(\boxed{45^\circ}\)