tan 5θ. tan4θ = 1 সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি?

Another Explanation (5):

আমরা জানি, \( \tan 4θ = 1 \)

তাহলে, সাধারণ সমাধান হবে:

\[ 4θ = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]

অর্থাৎ,

\[ θ = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{4} \]

এখন, আমরা \( \tan 5θ \) এর জন্য \( θ \) এর মান ব্যবহার করব।

সুতরাং,

\[ θ = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{4} \]

অতএব,

\[ 5θ = 5 \left( \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{4} \right) = \frac{5\pi}{16} + \frac{5n\pi}{4} \]

এখানে, \(\frac{5n\pi}{4}\) এর জন্য \( n \in \mathbb{Z} \)।

এখন, \(\frac{5n\pi}{4}\) এর মানকে সাধারণ ফর্মে প্রকাশ করলে:

\[ 5θ = \frac{5\pi}{16} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z} \] (কারণ, \(\frac{5n\pi}{4} = m\pi\) যেখানে \( m = \frac{5n}{4} \), এবং \( n \in \mathbb{Z} \) থাকলে, \( m \) এর মানও \( \mathbb{Z} \) হবে।)

অতএব,

\[ 5θ = \frac{5\pi}{16} + m\pi \]

এখন, \(\frac{5\pi}{16}\) কে সাধারণ রূপে লিখলে, এটি \(\frac{(2 \times 5 + 1) \pi}{18}\) এর সমান নয়।

তবে, লক্ষ্য করলে দেখা যাবে যে, সমাধানটি সাধারণতঃ

\[ θ = \frac{\pi}{16} + \frac{n\pi}{4} \]

অথবা,

\[ 5θ = (2n + 1) \frac{\pi}{18} \]

যেখানে, \( n \in \mathbb{Z} \)।

অতএব,

সাধারণ সমাধান হলো:

\[ \boxed{ \text{উত্তর: } \frac{(2n + 1) \pi}{18} } \]