2(3 cosθ − 4cos³ θ) = −1 এর সমাধান নিচের কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 2(3 \cos \theta - 4 \cos^3 \theta) = -1 \) সমাধান: প্রথমে সমীকরণটি সরল করি: \[ 2(3 \cos \theta - 4 \cos^3 \theta) = -1 \] বিন্যস্ত করি: \[ 6 \cos \theta - 8 \cos^3 \theta = -1 \] এখন, \( x = \cos \theta \) ধরি, তাহলে সমীকরণ হয়: \[ 6x - 8x^3 = -1 \] এটি একটি ক cubic সমীকরণ: \[ 8x^3 - 6x - 1 = 0 \] সমাধানের জন্য, আমরা দেখে নিচ্ছি এটি কারা কারা মূলসমাধান: এখানে, সমীকরণের রৈখিক আকারে দেখা যাচ্ছে, সম্ভবত এটি কারা কারা রুট রয়েছে। পরীক্ষা করি যদি \( x = \frac{1}{2} \) হয় তবে: \[ 8 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 - 6 \times \frac{1}{2} - 1 = 8 \times \frac{1}{8} - 3 - 1 = 1 - 3 - 1 = -3 \neq 0 \] পরীক্ষা করি \( x = -\frac{1}{2} \): \[ 8 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^3 - 6 \times \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = 8 \times -\frac{1}{8} + 3 - 1= -1 + 3 - 1= 1 \neq 0 \] পরীক্ষা করি \( x = \frac{1}{4} \): \[ 8 \times \frac{1}{64} - 6 \times \frac{1}{4} -1= \frac{8}{64} - \frac{6}{4} -1= \frac{1}{8} - \frac{3}{2} -1= \frac{1}{8} - \frac{12}{8} - \frac{8}{8}= \frac{1 - 12 - 8}{8} = -\frac{19}{8} \neq 0 \] এখানে, রুট খুঁজে বের করার জন্য, আমরা কারা কারা সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করব। এখানে, সমীকরণটি কারা কারা রুট রয়েছে, আমরা সাধারণত কারা কারা রুট পদ্ধতি ব্যবহার করব। একটি বিকল্প হলো, আমরা এই সমীকরণটি কারা কারা রুটের মাধ্যমে সমাধান করি। এখানে, লক্ষ্য হলো, সমাধানগুলো \(\cos \theta\) এর মান, যা সম্ভবত: \[ 8x^3 - 6x - 1 = 0 \] এটি কারা কারা রুট সমাধানের জন্য, আমরা কারা কারা সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করব। এখানে, সমীকরণের মূল রুটগুলো হলো: \[ x = \cos \left( \frac{2n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9} \right) \] কারণ, এই সমাধানগুলো মূল সমাধানের জন্য উপযুক্ত। অতএব, \(\cos \theta\) এর মান: \[ \cos \theta = \cos \left( \frac{2n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9} \right) \] তাহলে, \(\theta\) এর মান: \[ \theta = \pm \left( \frac{2n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9} \right) + 2k\pi \quad \text{(for } n, k \in Z) \] সুতরাং, মূল সমাধান হলো: \[ \boxed{ \theta = \frac{2n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9} } \] এটাই প্রশ্নের উত্তর।