\( \cos\theta + \sqrt{3} \sin\theta= 2 \) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \cos\theta + \sqrt{3} \sin\theta= 2 \) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি? উত্তর: \( 2n\pi + \frac{\pi}{3} \) সমাধান: প্রথমে, সমীকরণটি হলো: \[ \cos\theta + \sqrt{3} \sin\theta = 2 \] এটি একটি সাধারণ ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণ। আমরা এটিকে একটি একক কোসাইন বা সাইন ফর্মে রূপান্তর করব। সাধারণভাবে, যেকোনো সমীকরণ: \[ a \cos\theta + b \sin\theta = R \cos(\theta - \alpha) \] এখানে, \[ R = \sqrt{a^2 + b^2} \] এবং \[ \cos\alpha = \frac{a}{R}, \quad \sin\alpha = \frac{b}{R} \] দেখি, \[ a = 1, \quad b = \sqrt{3} \] অতএব, \[ R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] এবং, \[ \cos\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{3} \] (কারণ, \(\cos\alpha = \frac{1}{2}\) হলে \(\alpha = \pm \frac{\pi}{3}\), তবে এখানে ধনাত্মক মানের জন্য \(\alpha = \frac{\pi}{3}\) বিবেচনা করা হয়।) এখন, সমীকরণটি রূপান্তরিত হয়: \[ \cos\theta + \sqrt{3} \sin\theta = R \cos(\theta - \alpha) = 2 \cos(\theta - \frac{\pi}{3}) \] অতএব, \[ 2 \cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = 2 \] অর্থাৎ, \[ \cos(\theta - \frac{\pi}{3}) = 1 \] কোনো কোণের কসম মান 1 হলে, সেটি হয়: \[ \theta - \frac{\pi}{3} = 2n\pi, \quad n \in Z \] অতএব, \[ \boxed{ \theta = 2n\pi + \frac{\pi}{3} } \] এটাই সমাধানের সাধারণ রূপ।