cosecθ + cotθ = √3 (0 < θ < π) হলে θ এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\csc \theta + \cot \theta = \sqrt{3}\), যেখানে \(0 < \theta < \pi\)। তাহলে \(\theta\) এর মান কত? সমাধান: প্রথমে, যথাসম্ভব সহজ রূপে লেখি: \[ \csc \theta + \cot \theta = \frac{1}{\sin \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \] প্রদত্ত সমীকরণ অনুযায়ী, \[ \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} = \sqrt{3} \] এখন, উভয় পাশ ???ুণে নিই \(\sin \theta\): \[ 1 + \cos \theta = \sqrt{3} \sin \theta \] এখন, উভয় পাশে বর্গ করি: \[ (1 + \cos \theta)^2 = 3 \sin^2 \theta \] বর্গফলগুলো বিস্তার করি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 \sin^2 \theta \] জানি যে, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), অর্থাৎ, \[ 3 \sin^2 \theta = 3 (1 - \cos^2 \theta) \] প্রতিস্থাপন করি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 (1 - \cos^2 \theta) \] বিস্তার করি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta = 3 - 3 \cos^2 \theta \] সব এক পাশে নিয়ে আসি: \[ 1 + 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + 3 \cos^2 \theta - 3 = 0 \] সমন্বয় করি: \[ (1 - 3) + 2 \cos \theta + ( \cos^2 \theta + 3 \cos^2 \theta ) = 0 \] অর্থাৎ, \[ -2 + 2 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta = 0 \] গুণে নিই 2: \[ -4 + 4 \cos \theta + 8 \cos^2 \theta = 0 \] অথবা, \[ 8 \cos^2 \theta + 4 \cos \theta - 4 = 0 \] সমানুপাতিক করে বিভাজন করি 4 দ্বারা: \[ 2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0 \] এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ: \[ 2 x^2 + x - 1 = 0 \] যেখানে \(x = \cos \theta\)। সমাধান করি: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \times 2 \times (-1)}}{2 \times 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{-1 \pm 3}{4} \] অর্থাৎ, \[ x = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] অথবা, \[ x = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] তাই, \[ \cos \theta = \frac{1}{2} \quad \text{অথবা} \quad \cos \theta = -1 \] এখন, \(0 < \theta < \pi\) এই শর্তে, উপযুক্ত মানগুলো দেখে নিই: - \(\cos \theta = \frac{1}{2}\) এর জন্য, \(\theta = \frac{\pi}{3}\) বা \(\frac{5\pi}{3}\), কিন্তু \(\frac{5\pi}{3}\) অন্তর্ভুক্ত হয় না কারণ এটি \(\pi\) এর উপরে। তাই, \[ \theta = \frac{\pi}{3} \] - \(\cos \theta = -1\) এর জন্য, \(\theta = \pi\) তবে, যদি \(\theta = \pi\), তাহলে \(\sin \theta = 0\), যার জন্য \(\csc \theta\) অসীম হবে। তাই এই সমাধান অপ্রযোজ্য। অতএব, একমাত্র মান হলো: \[ \boxed{\theta = \frac{\pi}{3}} \]